Парадокс в при поиске интеграла (найти ошибку в рассуждении)

[MestnyBomzh]

Добрый день.
Есть интеграл $\int e^x \ch x dx$. Он берется по частям два раза, получается такое равенство:

$$\int e^x \ch x dx = e^x \cdot (\sh x - \ch x) + \int e^x \ch x dx $$

, учитывая то, что $e^x \cdot (\sh x - \ch x) = 1$, получаем:

$$\int e^x \ch x dx = -1 + \int e^x \ch x dx $$

Получается, если сократить интегралы, то $-1=0$. Как я себе это объяснил: пусть первообразная это $F(x)$, тогда: $F(x)+C_1 = -1 +F(x) + C_2 \Leftrightarrow C_1 = -1 + C_2$. Но поскольку $C_1$ пробегает все значения в $\mathbb{R}$, значит и $C_2$ пробегает все значения из $\mathbb{R}$
Правильно ли я рассуждаю?

[Pphantom]

MestnyBomzh в сообщении #1282214 писал(а):

Правильно ли я рассуждаю?

Да. Проще, наверное, сказать, что первообразная - не функция, а однопараметрическое множество функций, соответственно, и равенство двух неопределенных интегралов имеет смысл с точностью до константы.