Гипотеза о нормальном распределении количества простых чисел

[vicvolf]

Статистическая гипотеза о нормальности распределения количества простых чисел $\pi(x)$ относительно среднего значения $Li(x)$ не подтверждается, так как $Li(x) > \pi(x)$ для всех известных на данный момент простых чисел. Однако, Литтлвуд доказал, что $\pi(x)$ пересекает график $Li(x)$ бесконечное число раз при $x$ стремящемся к бесконечности, что вообщем согласуется с нормальным распределением $\pi(x)$. Будет ли предельным нормальное распределение для арифметической функции $\pi(x)$? Каково мнение участников форума? Какие доводы за и против?

[atlakatl]

Если ТС ничего не переврал в результатах, то было бы странно задавать его вопрос. Ведущие математики не знают, а у юсеров dxdy должны проявиться "мнения" по этим вопросам. Это ж математика, а не разговоры на лавочке возле клуба.

[vicvolf]

atlakatl в сообщении #1281952 писал(а):

Ведущие математики не знают, а у юсеров dxdy должны проявиться "мнения" по этим вопросам. Это ж математика, а не разговоры на лавочке возле клуба.

Напрасно Вы такого мнения о пользователях dxdy. Я знаю, что многие из них лично занимались и занимаются проблемой распределения простых чисел и собрали большой объем данных, на которые опираются статьи в известных иностранных журналах.

[atlakatl]

vicvolf
Я не о пользователях, а об обычной компетентности. Вы тут пытаетесь набить себе цену. Уважаете типа dxdy. Посмотрим.

[Degen1103]

При генерации распределение - равномерное, но является ли это свойством простых чисел либо алгоритма?...

Цитата:

Требования к алгоритмам генерации случайных простых чисел сводятся к следующим двум:
Распределение получаемых простых чисел должно быть близко к равномерному на множестве всех k-битных простых чисел.
Процесс генерации конкретного случайного простого числа нельзя воспроизвести, даже зная детали алгоритма и его реализации.

Случайное простое число

[Brukvalub]

Degen1103 в сообщении #1283799 писал(а):

При генерации распределение - равномерное, но является ли это свойством простых чисел либо алгоритма?...

Неужели, прочитав статью в вики, на которую вы ссылаетесь, вам ТАК И ОСТАЛОСЬ НЕПОНЯТНЫМ, "является ли это свойством простых чисел либо алгоритма?"

[vicvolf]

Мнение по этому вопросу у меня менялось. Как я писал выше статистическая гипотеза о нормальном распределении арифметической функции $\pi(x)$ относительно среднего значения $Li(x)$ пока не нашла своего подтверждения. Поэтому в решении данного вопроса можно опираться только на математическую модель.

Первая моя математическая модель была довольно упрощенной. Я рассматривал все арифметические функции количества натуральных чисел, обладающих определенным свойством - $Q(n)$.

$Q(n)$ является кусочно-постоянной, "ступенчатой", монотонно возрастающей, неограниченной при $n \to \infty$ функцией. Значение $Q(n)$ возрастает на 1, если натуральное $n$ удовлетворяет определенному свойству. В противном случае значение функции не меняется. $Q(n) \leq n$.

Введем вероятностные пространства: $\left(\Omega_{n},\mathcal{A}_{n},\mathbb{P}_{n}\right)$, взяв $\Omega_{n}=\{1,2,\dotsc,n\}$, $\mathcal{A}_{n}$ — все подмножества $\Omega_{n}$, $P_{n}(A)=\frac {1} {n} \{ N( m \in A\}$, где $N(m \in A)$ - это количество членов натурального ряда, удовлетворяющих условию $m \in A$.

Тогда арифметическую функцию $Q(m)$ можно рассматривать как случайную величину $S_{n}(m)=Q(m), (1 \leq m \leq n)$ на указанных пространствах.

Зафиксируем $n$ и рассмотрим вероятностное пространство случайной величины $S_n(m)=Q(m)$.

На основании указанных выше свойств $Q(n)=S_n(m)$ можно представить, как сумму случайных величин на данном вероятностном пространстве:

$S_n(m)=\sum_{i=1}^n {x_i}$, (1)

где $x_i=1$, если натуральное $i$ обладает определенным свойством и $x_i=0$, если натуральное $i$ не обладает определенным свойством.

Вероятность события, что $x_i=1$ в (1) определяется по формуле:

$p_n=\frac {1} {n} N\{ x_i=1 \}$, (2)
где $N\{...\}$ - обозначает количество натуральных чисел на интервале $[1,n]$, удовлетворяющих свойству, указанному в скобках.

Соответственно вероятность того, что $x_i=0$ равна $1-p_n$.

Естественно $N\{ x_i=1 \}=Q(n)$, поэтому (2) можно записать в виде:

$p_n=Q(n)/n$. (3)

В данной упрощенной модели предполагается, что случайные величины $x_i$ - независимы. В этом случае случайная величина $S_n$ имеет биномиальное распределение.

Предельным распределением для биномиального распределения является распределение Пуассона, либо нормальное распределение в зависимости от поведения дисперсии при $n \to \infty$:

$D(S_n)=np_n(1-p_n)$. (4)

На основании (3), (4) получаем:

$D(S_n)=Q(n)(1- Q(n)/n)$. (5)

Учитывая, что в (5) $Q(n)$ является неограниченно возрастающей функцией и $0 \leq 1-Q(n)/n \leq 1$, то $D(S_n)$ неограниченно возрастает.

Поэтому, на основании интегральной формулы Лапласа, предельным распределением для арифметической функции $Q(n)$ является нормальное распределение.

Естественно, при этой упрощенной модели, предельным для арифметической функции количества простых чисел $\pi(x)$ также являлось нормальное распределение.

В дальнейшем я усложнил модель. Постарался учесть зависимость случайных величин $x_i$ для конкретных арифметических функций $Q(n)$.

Учитывая, что меня интересует предельное распределение, я стал рассматривать зависимость случайных величин $x_i$ при $n \to \infty$.

Об этом в следующем сообщении.

[vicvolf]

Центральная предельная теорема (ЦПТ) и в том числе интегральная теорема Муавра-Лапласа справедливы и для некоторого класса слабо зависимых случайных величин.

Для начала напомню некоторые определения. Последовательность случайных величин $x_1,x_2,...$ обладает свойством слабой зависимости, если:

1. Последовательность случайных величин $x_1,x_2,...$ является стационарной.

2. Если значения $x_k$ и $x_{k+n}$ асимптотически независимы, т.е.:
$P(x_k \in B_1,x_{k+n} \in B_2) \to P(x_0 \in B_1)P(x_0 \in B_2)$ (6) при $n \to \infty$.

Начну с условия (6) для арифметической функции количества простых чисел.

Если взять два рядом стоящих натуральных числа при $n>2$ и обозначить вероятность события, что $k$-е натуральное число является простым $P(x_k)$, а вероятность события, что $k+1$-е натуральное число является простым - $P(x_{k+1})$, то: $P(x_k x_{k+1})=P(x_k) P(x_{k+1}/x_k)$. Рассмотрим $P(x_{k+1}/x_k)$.

Пусть, если натуральное число $k$ было простым, то значение случайной величины $x_k=1$, а если натуральное число $k$ не является простым, то значение случайной величины $x_k=0$. Если $k$ - е число является простым, то число $k+1(n>2)$ является четным и $P(x_{k+1}=1/x_k=1)=0$.

Если $k$ -е число не является простым, т.е. $x_k=0$, то $k+1$ -е число может быть как четным и нечетным, поэтому $P(x_{k=1}=0/x_k=1)$ не равно $0$.

Таким образом, случайные величины $x_k,x_{k+1}$ являются зависимыми. Данная ситуация сохраняется и при $n \to \infty$. Следовательно, последовательность случайных величин $x_1,x_2,...$, соответствующая количеству простых чисел не является слабо зависимой, так как не выполняется условие 2.

Если взять арифметические функции количества натуральных чисел, имеющих два или другое небольшое число простых делителей, то указанная зависимость от того, что натуральное число $k$ является четным или нечетным числом, как для простых чисел, сохраняется.

Только для арифметических функций количества натуральных чисел, имеющих большое количество простых делителей, что может быть при больших значениях $n$, соблюдается независимость от того, что натуральное число является четным или нечетным числом. Таким образом, выполняется 2-ое свойство слабой зависимости.

Для арифметических функций $Q(n)$, определяющим свойством которых является наличие у натурального числа четного или нечетного числа простых делителей, при большом количестве простых делителей, также на основании сказанного выполняется 2-ое свойство слабой зависимости.

Однако, для установления свойства слабой зависимости, для арифметических функций, удовлетворяющих свойству 2, необходима проверка 1-ого свойства - стационарности последовательности в узком смысле.

Арифметическая функция $\pi(x)$ и другие арифметические функции количества натуральных чисел, имеющих небольшое число простых делителей, не удовлетворяет условию слабой зависимости, поэтому для них не выполняется ЦПТ.

[Brukvalub]

vicvolf в сообщении #1288276 писал(а):

Если взять два рядом стоящих натуральных числа при $n>2$ и обозначить вероятность события, что $k$-е натуральное число является простым $P(x_k)$, а вероятность события, что $k+1$-е натуральное число является простым - $P(x_{k+1})$, то: $P(x_k x_{k+1})=P(x_k) P(x_{k+1}/x_k)$.

Чудесное тождество! Слева и справа всегда стоЯт нули... Ждем продолжения подобных "премудрых" тождеств!

[Dan B-Yallay]

Brukvalub в сообщении #1288324 писал(а):

vicvolf в сообщении #1288276 писал(а):

Если взять два рядом стоящих натуральных числа при $n>2$ и обозначить вероятность события, что $k$-е натуральное число является простым $P(x_k)$, а вероятность события, что $k+1$-е натуральное число является простым - $P(x_{k+1})$, то: $P(x_k x_{k+1})=P(x_k) P(x_{k+1}/x_k)$.

Чудесное тождество! Слева и справа всегда стоЯт нули... Ждем продолжения подобных "премудрых" тождеств!

Хммм. Вполне себе симпатичненькая "формула" для определения вероятности того, что из двух последовательных чисел оба окажутся простыми. Да еще и с привлечением условной вероятности.
Может кому-то и пригодится...

[vicvolf]

Brukvalub в сообщении #1288324 писал(а):

Слева и справа всегда стоЯт нули...

Спасибо, я подумаю и уточню.

[Brukvalub]

vicvolf в сообщении #1288399 писал(а):

Спасибо, я подумаю и уточню.

Спасибо, но не нужно уточнять глупости. Да и заводить очередную "шарманку ни о чем" на очередные "стопицоттыщ страниц", выдавая ее за "актуальную научную дискуссию", коих вы здесь уже заводили немерено, тоже не нужно, публика не жаждет банальностей.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1288276 писал(а):

Если взять два рядом стоящих натуральных числа при $n>2$ и обозначить вероятность события, что $k$-е натуральное число является простым $P(x_k)$, а вероятность события, что $k+1$-е натуральное число является простым - $P(x_{k+1})$, то: $P(x_k x_{k+1})=P(x_k) P(x_{k+1}/x_k)$. Рассмотрим $P(x_{k+1}/x_k)$.
Пусть, если натуральное число $k$ было простым, то значение случайной величины $x_k=1$, а если натуральное число $k$ не является простым, то значение случайной величины $x_k=0$. Если $k$ - е число является простым, то число $k+1(n>2)$ является четным и $P(x_{k+1}=1/x_k=1)=0$.
Если $k$ -е число не является простым, т.е. $x_k=0$, то $k+1$ -е число может быть как четным и нечетным, поэтому $P(x_{k=1}=0/x_k=1)$ не равно $0$.

Здесь была неточность. Исправлю. Пусть, если натуральное $k(k>2)$ является простым, то значение случайной величины $x_k=1$, в противном случае - $x_k=0$. Аналогично в отношении $x_{k+1}$.

Обозначим: $P(x_k=1)=a(0 \leq a \leq 1)$, $P(x_k=0)=1-a$, $P(x_{k+1}=1)=b(0 \leq b \leq 1)$, $P(x_{k+1}=0)=1-b$.

Тогда с одной стороны: $P(x_k=1,x_{k+1}=0)=P(x_k=1)P(x_{k+1}=0/x_k=1)=a \cdot 1=a$, так как если $x_k=1$, то $k$ - нечетное число.

С другой стороны: $P(x_k=1)P(x_{k+1}=0)=a(1-b)$.

Поэтому: $P(x_k=1,x_{k+1}=0)=a$ не равно $P(x_k=1)P(x_{k+1}=0)=a(1-b)$, если $b$ не равно $0$.

Может заслуженные участники здесь опять найдут ошибку, но суть не меняется. Она заключается (в действительно тривиальном факте) - значение $P(x_k=1)$ существенно зависит от того является ли натуральное $k$ четным или нечетным.

Поэтому выполняется зависимость случайных величин $x_k,x_{k+1}$ даже при больших $k$, а следовательно не выполняется асимптотическая независимость (слабая зависимость) соответствующей (для количества простых чисел) последовательности $x_1,x_2,...$.

Таким образом, не выполняются условия центральной предельной теоремы, а следовательно нормальности предельного распределение количества простых чисел. Этот лично мое мнение. Вывод не тривиален, что подтверждают участники форума.

atlakatl в сообщении #1281952 писал(а):

Если ТС ничего не переврал в результатах, то было бы странно задавать его вопрос. Ведущие математики не знают...

Хотелось бы услышать мнение по вопросу темы других участников форума? Если мнений нет, то тему можно закрыть.

[Brukvalub]

vicvolf в сообщении #1288833 писал(а):

Таким образом, не выполняются условия центральной предельной теоремы, а следовательно нормальности предельного распределение количества простых чисел. Этот лично мое мнение. Вывод не тривиален, что подтверждают участники форума.

Здесь дважды написана чушь:
1. Ц.П.Т. - всего лишь достаточное условие, невыполнение условий Ц.П.Т. не позволяет отрицать нормальность распределения.
2. В этой теме участники форума критиковали нелепые АшиПки ТС, никто из них не высказывался о "нетривиальности выводов".

[vicvolf]

Brukvalub писал(а):

Здесь дважды написана чушь:
1. Ц.П.Т. - всего лишь достаточное условие, невыполнение условий Ц.П.Т. не позволяет отрицать нормальность распределения.

vicvolf в сообщении #1288833 писал(а):

Таким образом, не выполняются условия центральной предельной теоремы, а следовательно нормальности предельного распределение количества простых чисел.

Читайте внимательно. В предложении слово "условия" относится как к первой, так и второй части. Да и в названии темы стоит - гипотеза, а не доказательство.

Цитата:

2. В этой теме участники форума критиковали нелепые АшиПки ТС, никто из них не высказывался о "нетривиальности выводов".

Рад, что в этот раз нет ошибок. Жаль, что так и не получил ответ на вопрос, заданный в первом сообщении темы. Поэтому повторно прошу закрыть обсуждение темы, чтобы не получилось:

Brukvalub в сообщении #1288425 писал(а):

заводить очередную "шарманку ни о чем" на очередные "стопицоттыщ страниц"

Спасибо всем участникам обсуждения.