2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Действительность корней уравнения
Сообщение03.01.2018, 20:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Уравнение $z=\tg z$, нужно доказать, что корни действительные. Задача на теорему Руше и принцип аргумента.

Согласно принципу аргумента, количество нулей регулярной функции в области $D$ равно $\displaystyle \mathop{\operatorname{var}}\limits_{z \in \partial D} \arg f(z)$. Я могу предложить две области с простой границей: это круг $|z| \leqslant \pi n$ и квадрат, описанный вокруг такого круга. Но на обеих границах мне не понятно, как вычислить вариацию аргумента. Про функцию я знаю это:
$$
z-\tg z= \left(x- \dfrac{\tg x}{\ch^2 y}\right) + i \left(y-\dfrac{\th y}{\cos^2 x}\right).
$$
Как-то сразу не видно пути для вычислений. Не могли бы вы первый шаг подсказать?

Да. Сделать планирую вот что: рассмотреть количество корней в области и сосчитать количество действительных корней в этой же области, они должны совпасть. Составлю последовательность областей, которыми накрывается комплексная плоскость и дело в шляпе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действительность корней уравнения
Сообщение03.01.2018, 23:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
StaticZero в сообщении #1281017 писал(а):
Согласно принципу аргумента, количество нулей регулярной функции в области $D$ равно $\displaystyle \mathop{\operatorname{var}}\limits_{z \in \partial D} \arg f(z)$

Разве тангенс регулярен в круге
StaticZero в сообщении #1281017 писал(а):
$|z| \leqslant \pi n$
?
Проще избавиться от полюсов, перейдя к равносильному уравнению $z\cos z =\sin z$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действительность корней уравнения
Сообщение04.01.2018, 00:19 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Может, использовать разложение котангенса?
Тогда надо доказать, что все нули уравнения (блин, Латехпомощник накрылся?): сумма по ненулевым целым $n$, $(z-n)^{-1} = 0$ - вещественны....

 Профиль  
                  
 
 Re: Действительность корней уравнения
Сообщение04.01.2018, 00:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Brukvalub в сообщении #1281068 писал(а):
Разве тангенс регулярен в круге

Нет, не регулярен, точно.

$$\begin{align*}
|z \cos z|^2 = |z|^2 (\cos^2 x \ch^2 y + \sin^2 x \sh^2 y) = (x^2 + y^2)(\sh^2 y + \cos^2 x),
\end{align*}$$
$$
|\sin z|^2 = (\sin^2 x \ch^2 y + \cos^2 x \sh^2 y) = \sh^2 y + \sin^2 x.
$$
Исследуем границу квадрата. Для $x = \pm \pi n$
$$
|z \cos z|^2 = (\pi^2 n^2 + y^2)(\sh^2 y + 1), \qquad |\sin z|^2 = \sh^2 y, \qquad |z \cos z| > | \sin z|.
$$
Для $y = \pm \pi n$
$$
\begin{align*}
&|z \cos z|^2 = (x^2 + \pi^2 n^2)(\sh^2 (\pi n) + \cos^2 x) \geqslant (x^2 + \pi^2 n^2) \sh^2 (\pi n) \geqslant \pi^2 n^2 \sh^2 (\pi n) > \sh^2 (\pi n) + 2 > \\ &> \sh^2 (\pi n) + \sin^2 x = |\sin z|^2.
\end{align*}$$

Количество корней в квадрате функции $f(z)$ равно количеству нулей функции $z \cos z$ в нём же по теореме Руше, в свою очередь количество нулей $z \cos z$ на единицу больше количества нулей $\cos z$, коих в этом квадрате $2n$. Таким образом, количество нулей $f(z)$ в квадрате равно $2n + 1$, количество нулей уравнения $x \cos x = \sin x$ на отрезке $[-\pi n, \pi n]$ равно $2n + 1$, доказано.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group