Существование аффинного преобразования

[ikozyrev]

Решаю задачку: существует ли аффинное преобразование переводящее три любые скрещивающиеся прямые в трёхмерном пространстве в любые другие три скрещивающиеся? В случае если наши тройки прямых не параллельны одной плоскости решение очевидно - строим на наших тройках аффинные параллелепипеды. А что делать в противном случае?

-- 03.01.2018, 19:34 --

Вот что в голову пришло только что: пусть вторая прямая расположена между первой и третьей. Тогда берём точку пересечения первой прямой с ее перпендикуляром ко второй и точку пересечения третьей с ее перпендикуляром ко второй. Проводим отрезок между этими точками. Тогда он бьется плоскостью параллельной первой и содержащей вторую в каком то соотношении которое очевидно в общем случае не будет аффинным инвариантом хотя должно быть. Так?

[svv]

Что не всякие скрещивающиеся во всякие скрещивающиеся можно перевести — Вы уже доказали. Если все три прямые параллельны какой-то плоскости, это свойство сохранится и после аффинного преобразования, но не любые три скрещивающиеся прямые таковы.

[ikozyrev]

svv в сообщении #1280985 писал(а):

Что не всякие скрещивающиеся во всякие скрещивающиеся можно перевести — Вы уже доказали. Если все три прямые параллельны какой-то плоскости, это свойство сохранится и после аффинного преобразования, но не любые три скрещивающиеся прямые таковы.

Ну да, а если они не параллельны какой-то плоскости, то строим на на них параллелепипед и он будет аффинен любому другому параллелепипеду, а значит такое афинное преобразование возможно.

[vpb]

ikozyrev в сообщении #1280977 писал(а):

Вот что в голову пришло только что: пусть вторая прямая расположена между первой и третьей. Тогда берём точку пересечения первой прямой с ее перпендикуляром ко второй и точку пересечения третьей с ее перпендикуляром ко второй. Проводим отрезок между этими точками. Тогда он бьется плоскостью параллельной первой и содержащей вторую в каком то соотношении которое очевидно в общем случае не будет аффинным инвариантом хотя должно быть. Так?

Так, идея правильная, только Вы тут несколько перемудрили. И к тому же неясно выражаетесь. Вообще, любой отрезок с концами на первой и третьей прямых делится плоскостью, проходящей через вторую прямую и параллельной всем трем прямым, в одном и том же отношении. И надо еще доказать, что две конфигурации, для которых это отношение одно и то же, аффинно эквивалентны. Т.е., класс эквивалентности конфигураций полностью определяется некоторым положительным числом.

Для порядку, стоит рассматривать упорядоченные тройки, т.е. две тройки, отличающиеся только порядком, считать разными.

Сформулируем более аккуратно.
Рассмотрим множество всех упорядоченных троек прямых в трехмерном (действительном) пространстве, таких, что любые две прямые из этой тройки --- скрещивающиеся, и существует плоскость, параллельная всем трем прямым. Тогда множество классов эквивалентности таких троек, относительно группы всех аффинных преобразований, параметризуется действительными числами, отличными от $0$ и $1$ .

(Оффтоп)

Я, кажется, сам несколько перемудрил... Студент первого курса такое может и не переварить. Если что, не грузитесь.

[ikozyrev]

vpb в сообщении #1281101 писал(а):

Так, идея правильная, только Вы тут несколько перемудрили. И к тому же неясно выражаетесь. Вообще, любой отрезок с концами на первой и третьей прямых делится плоскостью, проходящей через вторую прямую и параллельной всем трем прямым, в одном и том же отношении. И надо еще доказать, что две конфигурации, для которых это отношение одно и то же, аффинно эквивалентны. Т.е., класс эквивалентности конфигураций полностью определяется некоторым положительным числом.

По утру пришла в голову еще более простая идея - дело в том что прямая которую я построил, ппересекает все три наших прямых, и она в этом роде единственная. Поэтому она должна и при аффинном преобразовании пересекать тройку прямых, и точки пересечения переходят в точки пересечения, откуда очевидно, что такого аффинного преобразования быть не может. Хотя при построении этой прямой я использую перпендикуляры, что сразу накладыват на пространство требование евклидовости, хотя в изначальной формулирвки у нас любое трехмерное аффинное пространство... и насчет вещественности - мне кажется данное построение будет рабтать в любом поле, нет?

[vpb]

ikozyrev в сообщении #1281152 писал(а):

По утру пришла в голову еще более простая идея - дело в том что прямая которую я построил, ппересекает все три наших прямых, и она в этом роде единственная

А мне вчера вечером тоже показалось, что она единственная. Перекрестился --- и казаться перестало! А что для любого поля эта конструкция работает --- это верно.

[ikozyrev]

Да, согласен, не единственная. Тогда вобще просто и без евклидовости - берём любую точку на второй прямой, проводим через неё прямую пересекающую первую и третью и получаем отрезок разбитый в соотношении которое не аффинно. Вроде все сходится.

[vpb]

ikozyrev в сообщении #1281162 писал(а):

и получаем отрезок разбитый в соотношении которое не аффинно

а что означает эта фраза?

[ikozyrev]

vpb в сообщении #1281169 писал(а):

ikozyrev в сообщении #1281162 писал(а):

и получаем отрезок разбитый в соотношении которое не аффинно

а что означает эта фраза?

Ну то что отрезок с концами на прямых 1 и 3 рабивается прямой 2 в некоем соотношении. Этот отрезок должен перейти при аффинном преобразовании в такой же отрезок, тоже с концами на каких-то 2 прямых, и с разбиением третьей прямой в том же соотношении, что очевидно, в общем случае, не верно.

[vpb]

ikozyrev в сообщении #1281174 писал(а):

и с разбиением третьей прямой в том же соотношении, что очевидно, в общем случае, не верно.

Да, смысл Вашей фразы я понял. Однако, разве неверно? Бывает, и я туплю, но, похоже, не в этом случае...

[ikozyrev]

Ну как - возьмём для первой тройки соотношение 1, а для другой -3. Тогда преобразование из одной тройки в другую не будет аффинным, потому что соотношение изменится.