существование параллелепипеда, вписанного в шар

[Аленушка]

Как доказать, что в любом шаре с центром в некоторой точке содержится параллелепипед с центром в этой же точке и наоборот (в любом параллелепипеде-шар)?

[cepesh]

речь о $\mathbb{R}^3$? Это разве не очевидно?

[zkutch]

Для n-мерного пространства доказательство приведено в книге
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т.1, 1981г, параграф 18.1, стр. 293, Лемма 2.
Не поленитесь взглянуть и на упражнение 1 на стр. 295.

[Юстас]

Для конечномерных нормированных пространств это следует из теоремы об эквивалентности норм.

[Аленушка]

cepesh писал(а):

речь о $\mathbb{R}^3$? Это разве не очевидно?

Очевидно! А вот как это по-умному записать-неочевидно!

[PAV]

Аленушка писал(а):

Очевидно! А вот как это по-умному записать-неочевидно!

Если шар имеет радиус R, то расстояние от центра шара до любой его точки не превосходит R (это определение шара).

Если параллелепипед имеет стороны 2a, 2b и 2c (рассматриваем трехмерный случай), то минимальное расстояние от центра до любой точки на границе этого параллелепипеда равно $m = \min\{a,b,c\}$, а максимальное - $M = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$ (это расстояние до любого угла).

Теперь, если у нас есть заданный параллелепипед, то шар любого радиуса R<m, центр которого совпадает с центром параллелепипеда, будет полностью лежать внутри.

Если же нам дан шар радиуса R, то для того, чтобы вложить в него параллелепипед нужно подобрать числа a,b,c так, чтобы выполнялось M<R. Например, можно взять $a=b=c<\frac{R}{\sqrt{3}}$

[Аленушка]

Спасибо!