Сколько простых чисел может быть в квадрате?

[Ktina]

В каждой клетке квадрата $3\times 3$ записано натуральное число. При этом все
числа попарно различны и отличны от единицы. Известно, что число, записанное
в каждой из клеток, является делителем произведения всех чисел, стоящих в
клетках, соседних с ней по стороне. Найдите наибольшее возможное значение
количества простых чисел среди выписанных.

Задача - с олимпиады им. Эйлера.
Тамошнее решение мне показалось непонятным, поэтому привожу своё. Пожалуйста, проверьте его на вшиовсть!

Если простых чисел более шести, то найдётся хотя бы одна строка, все числа в которой - простые. Также найдётся хотя бы один столбец, все числа в котором - простые. Тогда на пересечении этой строки и этого столбца будет стоять простое число, нарушающее условие задачи. Таким образом, простых не более шести.
Пример для 6 простых:

2, 6, 3,

5, 35, 7

11, 143, 13

[pcyanide]

В Вашем примере столбцы 1 и 3 состоят только из простых чисел, и, разумеется числа на пересечении каждой строки а этими столбцами — простые, но никакого противоречия это не создает.

Насколько я понимаю условие задачи, дело здесь только в строках, более точно: «В каждой строке существует составное число». Доказательство настолько простое, что уверен, Вы его найдете. Отсюда сразу следует, что простых чисел не больше 6.

[Someone]

pcyanide в сообщении #1279334 писал(а):

Насколько я понимаю условие задачи, дело здесь только в строках

И это при том, что слово "строка" в условии задачи отсутствует?

pcyanide в сообщении #1279334 писал(а):

более точно: «В каждой строке существует составное число».

Ну транспонируйте матрицу Ktina.

[pcyanide]

Someone в сообщении #1279340 писал(а):

это при том, что слово "строка" в условии задачи отсутствует?

Так я понял фразу «соседних с ней по стороне». Лишь после замечания обратил внимание, что "по стороне", а не "по строке".

Рассмотрим матрицу:

$$ \begin{matrix} 2 & 3 & 5 \\ 7 & 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 & 11 \\ 13 & 17 & 19 \end{matrix} $$

В ней 8 простых чисел, причем каждое число есть делитель произведения соседей.

PS Если исключить диагональные элементы, то доказательство Ktina действительно подходит. Согласитесь, что условие задачи надо было четче сформулировать (например «соседних по горизонтали и вертикали»).

[metelev]

pcyanide в сообщении #1279732 писал(а):

Рассмотрим матрицу:

Эта матрица не годится, потому что, например, если взять 2, соседние с ней по стороне 3 и 7. Их произведение 21. 2 не является делителем 21.

У Ktina решение по-моему правильное.

Ktina в сообщении #1278810 писал(а):

Тамошнее решение мне показалось непонятным, поэтому привожу своё.

Интересно было бы посмотреть тамошнее решение.

[Ktina]

metelev в сообщении #1280804 писал(а):

Интересно было бы посмотреть тамошнее решение.

Пожалуйста:
http://matol.kz/comments/1045/show

[metelev]

Ktina
Спасибо. Отличия в ходе рассуждений небольшие, на мой взгляд.

[pcyanide]

Там решение чересчур спонтанное. У Вас гораздо элегантнее и потому более убедительно.