Число и размерности представлений конечной группы

[Andrey_MM]

Найти число и размерности неприводимых комплексных представлений группы порядка 55.
Можно считать доказанным:
1. G$ - абелева \Rightarrow 55$ одномерных представлений;
2. G$ - не абелева \Rightarrow 5$ одномерных представлений.
Т. к. имеется формула |G|=\sum_{i=1}^{r} n_{i}^{2}$, где r$ - количество н. к. представлений, n_i=dim(\rho_i)$, то осталось выяснить, какой из следующих способов расписать сумму квадратов размерностей верный:
50=2\ast 5^2$; 50=3^2+4^2+5^2$; 50=2\ast3^2+2\ast4^2$

Желательно не использовать без доказательства тот факт, что размерности н. к. представлений делят порядок группы (отсюда сразу вытекает верность 1 варианта).
Но, предполагаю, задачу можно решить, используя теорему о том, что количество н. к. представлений конечной группы равно числу классов сопряженности.
Соответственно, необходимо доказать, что число классов сопряженности G$ для |G|=55$ равняется 7$.

[vpb]

Полное описание строения групп порядка $pq$, где $p$, $q$ --- простые, можно найти в книгах М.И.Каргаполов, Ю.И.Мерзляков, Основы теории групп, гл.4, и М.Холл, Теория групп, тоже гл.4. Можно решать и самостоятельно.
Попробуйте ответить на такие вопросы.
1) Как звучат три теоремы Силова?
2) Каковы могут быть силовские подгруппы в неабелевой группе порядка 55?
3) Сколько их может быть?
4) Каковы могут быть порядки элементов в рассматриваемой группе?
5) Каковы могут быть порядки классов сопряженности?
6) В чем состоит основное соотношение, связывающее величины классов сопряженности в группе?
7) Что такое действие группы на множестве? Каково основное соотношение для длин орбит?
Докажите, что при действии группы самой на себе сопряжением каждая нормальная подгруппа является инвариантным множеством.
8) Докажите еще такой полезный факт. Пусть $G$ --- произвольная группа. Если $N$ --- подгруппа, лежит в центре группы $G$, то она нормальна, а если еще факторгруппа $G/N$ циклическая, то $G$ абелева.
9) Наконец, попробуйте, собрав всю эту информацию вместе и скомбинировав, решить основную задачу.

Если что --- пишите в тему.