В чем ошибка азартного игрока?

[Someone]

wrest в сообщении #1279322 писал(а):

Почему пересечение нуля является продолжением игры, а не началом новой, с учетом того, что мы считаем, что равновероятная монетка после каждого броска "забывает" свою историю?

Я же написал:

Someone в сообщении #1279301 писал(а):

wrest в сообщении #1279170 писал(а):

Мы все время говорим о том, что при равновероятных исходах, предыдущую их историю можно забыть, т.к. она не влияет на последующие исходы, и тогда, казалось бы, каждое пересечение нуля это для игрока как бы "перезапуск" игры с начала. Но нет.

Почему нет? Именно так и есть.

Это действительно "перезапуск" игры. Но чем больше раз Вы "перезапускаете" игру,

Someone в сообщении #1279301 писал(а):

тем более редкие события реализуются. Поэтому понемногу величина отклонения $S_n$ от $MS_n=mn$ в среднем увеличивается.

Оба варианта правильные. И этот, и предыдущий. Geen и grizzly в предыдущих сообщениях тоже правильно говорят. С одной стороны, мы действительно "перезапускаем" игру, поскольку начинаем счёт выигрыша с нуля, а с другой — продолжаем её.

[Geen]

Someone в сообщении #1279327 писал(а):

тоже правильно говорят.

Я больше имел ввиду, что не сформулировано что именно "мы хотим" от "перезапуска" - какие характеристики какой случайной величины "хотим" посчитать.

[Someone]

Возможно, я не угадал, что Вы имели в виду, и думал о своём.

[wrest]

grizzly в сообщении #1279323 писал(а):

А после каждого отдельного "обнуления" они такие же, как и с самого начала, конечно.

Я тоже так хочу думать. С другой стороны, можно же рассматривать блуждание как перезапуск игры на каждом ходе, тогда получится что-то вроде реализации принципа Гюйгенса-Френеля, когда каждая точка волнового фронта является источником вторичных волн.

-- 28.12.2017, 10:10 --

Geen в сообщении #1279332 писал(а):

какие характеристики какой случайной величины "хотим" посчитать.

Частоту пересечения нуля, ну или среднее расстояние между нулями, или плотность нулей. Зависит ли от от номера хода или постоянно. Сколько в среднем блуждание пройдет через ноль за 100 ходов, за 10 000 ходов?

Но кажется, я понял. Если нарисовать квадратные корни из каждого нуля, то наверное окажется, что блуждание будет примерно в их пределах и игра действительно "перезапускается". К сожалению, тем методом, что я рисую графики в экселе трудно продолжить блуждание дальше нескольких тысяч ходов (я просто делаю столбцы исходов, столбцы накопленной суммы и потом из них графики)...

[Someone]

wrest в сообщении #1279385 писал(а):

среднее расстояние между нулями

Среднее расстояние между нулями — бесконечное. В том числе, среднее время первого возвращения в начало бесконечное.

Читайте Феллера, там всякие вероятности вычислены.

[wrest]

Someone в сообщении #1279391 писал(а):

Среднее расстояние между нулями — бесконечное.

Или чего-то не хватает в формулировке или налицо несоответствие эксперименту.
Вот результаты эксперимента. Сделано 100 равновероятных блужданий по 10 000 шагов каждое.
Расстояния между нулями в каждом блуждании не оценивалось, только их общее количество:

На графике ось абсцисс - номер блуждания, ось ординат - количество нулей в блуждании с этим номером

Гистограмма распределения количества нулей по 100 блужданиям по 10 000 шагов каждое:

[Someone]

wrest в сообщении #1279403 писал(а):

Или чего-то не хватает в формулировке или налицо несоответствие эксперименту.

Всё на месте.

wrest в сообщении #1279403 писал(а):

Сделано 100 блужданий по 10 000 шагов каждое.

Попробуйте ещё раз сделать $100$ блужданий. Попробуйте сделать $1000$ блужданий. Попробуйте сделать блуждания не по $10000$, а по $100000$. В общем, увеличивайте количество экспериментов. Сравнивайте не только количество нулей, но и средние расстояния между нулями, поскольку речь идёт именно о них.

И обратите внимание на то, что количество нулей в разных прогонах различается в сотни раз, судя по вашей диаграмме. Соответственно, и среднее расстояние между нулями различается в сотни раз. Учтите также, что после последнего нуля может быть очень длинный "хвост", который Вы никак не учитываете (и не знаете, когда после него будет следующий ноль; может быть, целесообразно не заканчивать моделирование в заранее выбранный момент, а продолжать его до достижения очередного нуля). Всё это как бы намекает, что средние величины по своей полезности здесь сильно напоминают среднюю температуру по больнице.

[Евгений Машеров]

Промоделировал до миллиона. Нет "памяти", после достижения нуля ведёт себя как же, как "в первый раз". Что и утверждает теория...

[wrest]

Someone в сообщении #1279423 писал(а):

Попробуйте сделать $1000$ блужданий. Попробуйте сделать блуждания не по $10000$, а по $100000$.

Это слишком трудно для используемого инструмента.

Someone в сообщении #1279423 писал(а):

Всё это как бы намекает, что средние величины по своей полезности здесь сильно напоминают среднюю температуру по больнице.

Из 100 блужданий ни разу не было попаданий в ноль только в одном. Что как бы намекает, что знание о среднем расстоянии между нулями стремящимся к бесконечности (видимо, при стремлении к бесконечности количества шагов) немножко бесполезное.
Ну это как например знание о том, что $\lim \limits_{x \to \infty} f(x)=\infty$ мало что говорит нам об $f(x)$, которая может быть $f(x)=x$ или $f(x)=\sqrt{x}$ и т.п.

-- 28.12.2017, 13:06 --

Someone в сообщении #1279423 писал(а):

И обратите внимание на то, что количество нулей в разных прогонах различается в сотни раз, судя по вашей диаграмме. Соответственно, и среднее расстояние между нулями различается в сотни раз.

Да, но не в тысячи. То есть на такой длине (10 000 шагов) количество нулей по крайней мере на два порядка меньше количества шагов.
Раз на $n$-ом шаге распределение выигрыша биномиальное (переходящее при больших $n$ в нормальное), то с ростом номера шага вероятность нулевого выигрыша будет уменьшаться и стремиться к нулю в пределе бесконечного роста количества шагов.

Евгений Машеров в сообщении #1279434 писал(а):

Нет "памяти", после достижения нуля ведёт себя как же, как "в первый раз". Что и утверждает теория...

Хорошие новости, спасибо.

Вроде мои вопросы разрешились, спасибо.

[Geen]

Евгений Машеров в сообщении #1279434 писал(а):

Нет "памяти", после достижения нуля ведёт себя как же, как "в первый раз".

А каким критерием Вы пользовались?

[Someone]

wrest в сообщении #1279435 писал(а):

Это слишком трудно для используемого инструмента.

Видите ли, Excel — это, в первую очередь, табличный процессор. Вы же его хотите применить для моделирования случайных процессов. А у него генератор псевдослучайных чисел, судя по информации Geen, отвратительный, и на надёжные результаты моделирования лучше не рассчитывать. Вообще говоря, если у Вас не какая-нибудь совсем древняя версия, то можно писать программы на Visual Basic for Applications, который входит в состав Microsoft Office, используя Excel для ввода данных и отображения результатов. Таким путём можно преодолеть ваши ограничения, но генератор псевдослучайных чисел не исправится. Так что инструмент Вам надо менять.

wrest в сообщении #1279403 писал(а):

Сделано 100 равновероятных блужданий по 10 000 шагов каждое.
Расстояния между нулями в каждом блуждании не оценивалось, только их общее количество

Между прочим, $100$ отрезков по $10\,000$, начинающихся каждый раз с нуля — это не то же самое, что один непрерывный отрезок длины $1\,000\,000$. Вы искусственно ограничиваете длину отрезков, не содержащих нулей, и хотите увидеть, как длины этих отрезков неограниченно возрастают.

[wrest]

Someone в сообщении #1279508 писал(а):

Вообще говоря, если у Вас не какая-нибудь совсем древняя версия, то можно писать программы на Visual Basic for Applications, который входит в состав Microsoft Office, используя Excel для ввода данных и отображения результатов. Таким путём можно преодолеть ваши ограничения, но генератор псевдослучайных чисел не исправится. Так что инструмент Вам надо менять.

Я же дилетант :) Мне экселя хватает, по крайней мере для тех задачек по вероятностям которые меня заинтересовывают здесь на форуме.

Someone в сообщении #1279508 писал(а):

Между прочим, $100$ отрезков по $10\,000$, начинающихся каждый раз с нуля — это не то же самое, что один непрерывный отрезок длины $1\,000\,000$. Вы искусственно ограничиваете длину отрезков, не содержащих нулей, и хотите увидеть, как длины этих отрезков неограниченно возрастают.

Совершенно верно. Я же с этого и начал: я вижу, что частота нулей падает с увеличением количества шагов и у меня в этой связи сложилось ложное впечатление того, что процесс как-бы "помнит" историю. Но хотел бы еще раз обратить внимание что само по себе знание о неограниченном возрастании -- не очень полезное знание. Интересовало как именно возрастает эта длина: как квадратный корень из количества шагов, пропорционально количеству шагов, иная степенная функция количества шагов...

Someone в сообщении #1279508 писал(а):

А у него генератор псевдослучайных чисел, судя по информации Geen, отвратительный,

Судя по информации производителя этого генератора, это в прошлом: https://support.microsoft.com/ru-ru/hel ... n-in-excel
Ну и раньше там проблемы как я понял были при генерации миллиона чисел и больше (начинались повторения), а у меня - меньше.

[Geen]

wrest в сообщении #1279521 писал(а):

Ну и раньше там проблемы как я понял были при генерации миллиона чисел и больше (начинались повторения), а у меня - меньше.

Ну Вы же не перезапускаете компьютер при каждом новом раунде

[wrest]

Geen в сообщении #1279523 писал(а):

Ну Вы же не перезапускаете компьютер при каждом новом раунде

Нет, не перезапускаю. Но у меня и эксель более поздней версии чем тот где проблема с миллионом была. Сейчас, как пишут, повторения начинаются не ранее чем через $10^{13}$ сгенерированных чисел.

[Geen]

wrest в сообщении #1279521 писал(а):

Судя по информации производителя этого генератора, это в прошлом:

Я бы не сказал, что очень хорошо стало... но это совсем отдельная тема.

wrest в сообщении #1279521 писал(а):

экселя хватает, по крайней мере для тех задачек по вероятностям которые меня заинтересовывают

Ну да, для простых проверок ещё можно использовать. Но только для простых