Предел произведения последовательностей. Задание из Stepic

[MorisHuxley]

Задача
К сожалению в курсе математического анализа на стайте stepic.org нет разборов решений задач. Так как задача в формате теста, то угадать или интуитивно ответить возможно, поэтому ответ известен.
Задача была такая:
Пусть $\lim\limits_{n\to\infty}x_n y_n = 0$. Отметьте утверждения, которые из этого следуют.
Ответ
Из того, что было, верным является следующее утверждение:
$\lim\limits_{n\to\infty}\min (|x_n|, |y_n|) = 0$
Не совсем ясно почему.
Попытки решения
Из определения предела имеем, что для любого $\varepsilon > 0$ найдется $N$ начиная с которого:
$|x_n y_n| = |x_n| |y_n| < \varepsilon$
Как из этого следует, что:
$\min(|x_n|, |y_n|) < \varepsilon$

[Someone]

MorisHuxley в сообщении #1279048 писал(а):

$|x_n y_n| = |x_n| |y_n| < \varepsilon$
Как из этого следует, что:
$min(|x_n|, |y_n|) < \varepsilon$

Никак. А кто Вам сказал, что в правых частях обоих неравенств должно стоять одно и то же число?

P. S. $\min$ и $\max$ кодируются как \min и \max: $\min(\lvert x_n\rvert,\lvert y_n\rvert)$.

[MorisHuxley]

Someone
Ок, пусть разные, просто какие-то числа.. Может быть мое рассуждение и неверно, тем не менее как доказать утверждение?

[Brukvalub]

Полезно заметить, что $\min^2(|x_n|, |y_n|) \le |x_n||y_n|$

[Someone]

MorisHuxley в сообщении #1279060 писал(а):

пусть разные, просто какие-то числа

Нет, не "просто какие-то числа". Они как-то связаны друг с другом. Вот Brukvalub подсказывает, но можно было бы и самому догадаться.

[MorisHuxley]

Brukvalub
Спасибо.