Доказать по определению предела последовательности

[cartav1y]

$\lim _n _\to _\infty ( \frac {n^2+3\cdot n-7} {5\cdot n^2-2} )=\frac {1} {5} $
Помогите решить пожалуйста, ломаю голову уже весь день.

[B@R5uk]

Ну, действуйте по определению: найдите разность, наложите на неё модуль ограничение эпсилон. Попытайтесь оценить эн снизу так, чтобы ограничение всегда выполнялось. Где ваши выкладки? На каком этапе споткнулись?

[cartav1y]

$\frac {15\cdot n -33} {25\cdot n^2 - 10} < E$
Я остановился на этом моменте, не представляю как переписать неравенство относительно n, чтобы найти чему равно $N _e$

[teleglaz]

Вы умеете решать квадратичные неравенства?

[B@R5uk]

Какие квадратичные!? Зачем такие сложности!?

Пусть N для начала будет не меньше 1000, если этого недостаточно (эпислон слишком маленькое), то увеличим его. Теперь, когда задались первичной оценкой поделим числитель и знаменатель дроби на $25n^2$. Оценим знаменатель снизу как $1/2$. Оценим дробь в числителе с $n^2$ в знаменателе как $1/2$. Теперь от $n$ зависит только первая дробь в числителе с этим самым $n$ в знаменателе. Вывернем получившееся неравенство наизнанку и прибавим к оценке что-нибудь типа 333 или 777 для красоты, получим желаемую оценку (в случае, если результат получился больше изначальной оценки: 1000).

[worm2]

А можно ещё проще. Подставьте $N_e=2/E$, и всё. Ну да, оно подойдёт не для всех $E$. Но нас все и не интересуют. Только достаточно малые, насколько малые, мы сами можем диктовать. Потому что любое $N$, подходящее для меньшего $E$, подойдёт и для большего.
Тут главное руку набить, а дальше сразу видно будет: раз в знаменателе многочлен второй степени, а в числителе первой, то эту дробь можно сделать настолько маленькой, насколько нужно, меньше любого заданного $E$.

[cartav1y]

Не до конца понимаю, что именно вы делаете. Если не трудно, проиллюстрируйте подробно, на бумаге, или в сообщение, по порядку. Буду крайне признателен.

[Евгений Машеров]

$\frac 1 5$ выносим за скобки. В скобках остаётся отношение двух многочленов второй степени с одинаковыми коэффициентами при $x^2$. Делим числитель на знаменатель. Без остатка не получается. Как ведёт себя остаток?

[Lia]

cartav1y в сообщении #1279047 писал(а):

Не до конца понимаю, что именно вы делаете. Если не трудно, проиллюстрируйте подробно, на бумаге, или в сообщение, по порядку. Буду крайне признателен.

Правила запрещают действия подобного рода, даже без подробных иллюстраций на бумаге.
Самый простой способ для Вас, не требующий вообще понимания происходящего, предложил teleglaz в post1278925.html#p1278925. Вас в школе должны были этому научить. Пробуйте.