Единственность структуры подмногообразия

[demolishka]

g______d в сообщении #1278682 писал(а):

Смотря что значит "таких".

Да это я затупил и чушь какую-то написал.

Slav-27 в сообщении #1278688 писал(а):

Утверждение, которое вы доказываете, из той теоремы 1.32 следует очевидно.

Да, действительно, спасибо за замечание.

Slav-27 в сообщении #1278688 писал(а):

Текст в стартовом посте содержит кучу неточностей (особенно с композициями, которые не везде определены)

Никто и не говорил, что они везде определены
Slav-27, спасибо за то, что посмотрели решение.

Slav-27 в сообщении #1278706 писал(а):

Что касается 10-й задачи: насколько я понимаю, там разрешено менять топологию, и надо доказать, что ничего не получится. Так что это не частный случай предыдущей.

Ага, т. е. если в индуцированной топологии и стандартном вложении $(A,i)$ подмногообразие (инъективно погруженное), то других локально евклидовых топологий на $A$ со второй аксиомой счетности, которые можно снабдить гладкой структурой, в которой $(A,i)$ подмногообразие $M$ нет. Теперь понятно.

[Slav-27]

demolishka в сообщении #1278719 писал(а):

Никто и не говорил, что они везде определены

Ну когда пишут $\psi\circ\varphi$, обычно имеют в виду, что $\psi$ определено на множестве значений $\varphi$. И когда обратное отображение пишут -- тоже имеют в виду, что оно определено.

demolishka в сообщении #1278719 писал(а):

Ага, т. е. если в индуцированной топологии и стандартном вложении $(A,i)$ подмногообразие (инъективно погруженное), то других локально евклидовых топологий на $A$ со второй аксиомой счетности, которые можно снабдить гладкой структурой, в которой $(A,i)$ подмногообразие $M$ нет. Теперь понятно.

А вот это как раз неверно Найдите разницу (и можете ещё подумать, почему неверно).

[demolishka]

Slav-27, ну давайте посмотрим.

Цитата:

Если в индуцированной топологии $A$ обладает дифференцируемой структурой, такой, что $(A,i)$ --- подмногообразие $M$

Т. е. у нас дана какая-то структура многообразия (топология + гладкая структура) на $A$, такая, что $(A,i)$--- подмногообразие $M$. Далее утверждается

Цитата:

то на $A$ существует единственная структура многообразия, $<\ldots>$, такая, что $(A,i)$ --- подмногообразие $M$.

Чем собственно исходная структура многообразия на $A$ не подходит? Вот она есть, остается только доказать, что все остальные структуры многообразия дают эквивалентные (в смысле упомянутого выше определения) подмногообразия.

[Slav-27]

Доказать предлагается следующее. Пусть $M$ -- гладкое многообразие, $A$ -- множество, $A\xrightarrow{i}M$ -- отображение (инъективное). Тогда если на множестве $A$ существует структура гладкого многообразия (т. е. топология + ...), такая что $i$ -- гладкое вложение, то при выборе любой иной (неэквивалентной) структуры гладкого многообразия на множестве $A$ отображение $i$ перестаёт быть даже погружением.

Если это то, что вы имели в виду, то я зря придрался.

-- 26.12.2017, 10:27 --

А вот если заменить выше "гладкое вложение" на "погружение", то будет неверно.