Единственность структуры подмногообразия

[demolishka]

Пусть $N$ и $M$ --- гладкие многообразия. Будем говорить, что $N$ (а точнее пара $(N,i)$) есть подмногообразие $M$, если существует гладкое инъективное отображение $i \colon N \to M$, у которого дифференциал всюду инъективен. Пытаюсь решить следующую задачу.

Пусть $A \subset M$ --- некоторое подмножество гладкого многообразия $M$. Зафиксируем какую-либо топологию на $A$. Тогда на $A$ существует не более одной структуры гладкого многообразия, такой, что $(A,i)$ --- подмногообразие $M$ при некотором фиксированном отображении $i$ (например, стандартном вложении).

Претендент на решение (см. рисунок):


Пусть $V_{\alpha}$ и $V_{\beta}$ --- открытые пересекающиеся подмножества $A$ и $\sigma_{\alpha}$, $\sigma_{\beta}$ --- соответствующие координатные отображения. Покажем, что карты $(V_{\alpha},\sigma_{\alpha})$ и $(V_{\beta},\sigma_{\beta})$ (из различных атласов задающих гладкую структуру на $A$) можно гладко склеить, т. е. отображение $\sigma_{\beta} \circ \sigma_{\alpha}^{-1}$ гладкое. Рассмотрим произвольную точку $p \in V_{\alpha} \cap V_{\beta}$ и некоторую окрестность $U$ точки $i(p) \in M$ с координатами задаваемыми отображением $\varphi$ (на рисунке нет, т. к. далее они не потребуются). Так как $i$ гладкое отображение, то координатные записи $\varphi\circ i \circ \sigma_{\alpha}^{-1}$ и $\varphi\circ i \circ \sigma_{\beta}^{-1}$ --- гладкие отображения из некоторой области в $\mathbb{R}^{k}$ в $\mathbb{R}^n$. Инъективность дифференциала означает его невырожденность, т. е. постоянство ранга ($=k$) в этой области. По теореме о ранге для координатных отображений можно ввести новые координаты $(x^1,\ldots,x^n) $ в прообразе (координатные функции обзовем также $\sigma_{\alpha}$ и $\sigma_{\beta}$) и $(y^1,\ldots,y^n)\in D_{\alpha}$ в образе (координатные функции обзовем $\varphi_{\alpha}$ и $\varphi_{\beta}$) так, чтобы отображение $\varphi_{\alpha}\circ i \circ\sigma_{\alpha}^{-1}$ имело вид:

$$y^{1}(x^1,\ldots,x^{k})=x^1$$

$$\ldots$$

$$y^{k}(x^1,\ldots,x^{k})=x^k$$

$$y^{k+1}(x^1,\ldots,x^{k})=0$$

$$\ldots$$

$$y^{n}(x^1,\ldots,x^{k})=0.$$

Аналогично вводятся координаты $(x^{1'},\ldots,x^{k'}) $ в прообразе и $(y^{1'},\ldots,y^{n'})\in D_{\beta}$ в образе доставляющие аналогичный вид отображению $\varphi_{\beta}\circ i \circ\sigma_{\beta}^{-1}$. Введем в рассмотрение проекции $\pi_{\alpha}$ и $\pi_{\beta}$ на первые $k$ координат в $D_{\alpha}$ и $D_{\beta}$ соответственно. Отображение $\pi_{\alpha\beta}:=(\pi_{\beta}\circ \varphi_{\beta}\circ i)\circ(\pi_{\alpha}\circ\varphi_{\alpha}\circ i)^{-1}$ есть гладкое отображение, т. к. является сужением гладкого отображения $\varphi_{\beta}\circ \varphi_{\alpha}^{-1}$. Отображения $\psi_{\alpha}:=\pi_{\alpha}\circ\varphi_{\alpha}\circ i \circ \sigma_{\alpha}^{-1}$ и $\psi_{\beta}:=\pi_{\beta}\circ\varphi_{\beta}\circ i \circ \sigma_{\beta}^{-1}$ гладкие и имеют невырожденный дифференциал, следовательно, они обратимы в некоторой окрестности точки $p$. Тогда

$$\sigma_{\beta}\circ\sigma^{-1}_{\alpha}=\sigma_{\beta}(\pi_{\beta}\circ\varphi_{\beta} \circ i)^{-1}\circ(\pi_{\beta}\circ\varphi_{\beta} \circ i)\circ(\pi_{\alpha}\circ \varphi_{\alpha}\circ i)^{-1} \circ (\pi_{\alpha}\circ \varphi_{\alpha}\circ i)\circ \sigma^{-1}_{\alpha}=\psi^{-1}_{\beta}\circ \pi_{\alpha\beta}\circ\psi_{\alpha}.$$

Последнее отображение гладкое как композиция гладких. Рассуждения можно повторить для любой точки $p \in V_{\alpha} \cap V_{\beta}$, получив непрерывную дифференцируемость $\sigma_{\beta} \circ \sigma^{-1}_{\alpha}$ в некоторой ее координатной окрестности. Таким образом, любые две карты из любых атласов на $A$, задающих для данного $i$ на $A$ структуру подмногообразия $M$ гладко склеиваются. Поэтому гладкая структура (=класс эквивалентных атласов) единственен.

Собственно вопрос. Верны ли мои рассуждения? Буду очень признателен человеку, которые проверит мои построения

[пианист]

Сфера $S^7$ естественно вкладывается в ${\mathbb R}^8$, но структура гладкого многообразия на ней не единственна (сферы Милнора).
Это не противоречит Вашей гипотезе?

[g______d]

пианист в сообщении #1278493 писал(а):

Сфера $S^7$ естественно вкладывается в ${\mathbb R}^8$, но структура гладкого многообразия на ней не единственна (сферы Милнора).
Это не противоречит Вашей гипотезе?

Вроде нет, сферы Милнора строятся из нестандартных вложений в большую размерность, и не очевидно, вкладываются ли они все в $\mathbb R^8$ как подмногообразия (например, экзотические $\mathbb R^4$ бывают "small" и "large", и последние не вкладываются в $\mathbb R^4$. Про сферы не знаю -- пока не нашёл).

-- Вс, 24 дек 2017 21:32:29 --

Говорят, что в $\mathbb R^{8}$ почти никогда, зато в $\mathbb R^9$ всегда, но статья на немецком, и мне лень переводить (см. ссылку в последнем абзаце изначального вопроса).

https://mathoverflow.net/questions/2430 ... to-some-rn

[demolishka]

пианист в сообщении #1278493 писал(а):

Сфера $S^7$ естественно вкладывается в ${\mathbb R}^8$, но структура гладкого многообразия на ней не единственна (сферы Милнора).

Из известной мне формулировки этого результата: на сфере $S^{7}$ в канонической топологии существует 20 с чем-то недиффеоморфных структур гладкого многообразия (=классов эквивалентности атласов). Мне отсюда как-то не очевидно (а если верить задаче, то это как раз и невозможно), что при одном и том же отображении $i \colon S^{7} \to \mathbb{R}^8$ (например, $i=id$) все эти штуки (или хотя бы две из них) будут подмногообразиями.

С наличием таких вложений, если я правильно понял комментарий g______d, разобрались: нужно просто увеличить размерность.

Это задача 9 из листка. Вообще говоря, в задаче вроде как понимается, что $i$ это стандартное вложение (т. е. $\operatorname{id}$), но я это обстоятельство нигде не использовал (или использовал, но неявно). Тут смотря, что понимать под единственностью гладкой структуры. Я понимал единственность класса эквивалентных атласов на $A$, что сильнее чем простое наличие диффеоморфизма.

Хотя нет, я сейчас вспомнил, что есть эквивалентность вложений $\left((A,\mathbb{A}_1),i\right)$ и $\left((A,\mathbb{A}_2),j\right)$ в $M$, что означает существование диффеоморфизма $\psi \colon (A,\mathbb{A}_1) \to (A,\mathbb{A}_2)$, такого что $i =j \circ \psi$. В нашем же случае $i=j$, а значит единственная возможность, когда $\psi = \operatorname{id}.$ Ясно, что два атласа $\mathbb{A}_1$ и $\mathbb{A}_2$ на $A$ эквивалентны тогда и только тогда, когда $\operatorname{id}$ задает диффеоморфизм между $(A,\mathbb{A}_1)$ и $(A,\mathbb{A}_2)$. Так что выбора понятия эквивалентности гладких структур тут нет.

Задача 10 из того же листка, с одной стороны вроде как по смыслу продолжение задачи 9, но условие написано так, что выглядит она для меня как частный случай задачи 9. Потому что вторая аксиома счетности, вроде как наследуется; без локальной евклидовости не было бы и структуры гладкого многообразия, а ее единственность доказана в задаче 9. А слова про "единственность топологии" вообще не в тему после того, как мы ее индуцировали из $M$. Так что может кто разбирающийся поможет разобраться с формулировкой?

[Someone]

demolishka в сообщении #1278566 писал(а):

на сфере $S^{7}$ в канонической топологии

А какие там ещё есть топологии, помимо канонической?

Вроде бы, понятие многообразия — топологическое, и вложение многообразия куда-нибудь означает, что его (многообразия) топология совпадает с топологией подпространства того пространства, куда многообразие вложено. Всякие кусочно линейные и гладкие структуры — это дополнительные структуры, которые определённым образом согласовываются с топологией.

Или я уже настолько отстал, что сейчас многообразие определяется не как топологическое пространство, а я об этом не знаю?

[demolishka]

Someone в сообщении #1278584 писал(а):

А какие там ещё есть топологии, помимо канонической?

Да, вообще говоря, много какие, только толку от них немного .

Someone в сообщении #1278584 писал(а):

Вроде бы, понятие многообразия — топологическое, и вложение многообразия куда-нибудь означает, что его (многообразия) топология совпадает с топологией подпространства того пространства, куда многообразие вложено.

Для обычного многообразия да. Но для гладких многообразий хочется, чтобы это вложение (непрерывная инъекция задающая гомеоморфизм на образ) еще была гладкой и посредством дифференциала устраивала мономорфизм касательных пространств. Тут я сразу подчеркну, что в моей задаче речь идет не о вложенных подмногообразиях, а о просто подмногообразиях (в смысле определения данного в первом посте), т. е. отображение $i$ не обязательно задает гомеоморфизм на образ. Поэтому этот момент

demolishka в сообщении #1278566 писал(а):

эквивалентность вложений $\left((A,\mathbb{A}_1),i\right)$ и $\left((A,\mathbb{A}_2),j\right)$ в $M$

следует читать как "эквивалентность подмногообразий" в смысле определения из первого поста.

[Someone]

Общедоступную литературу указать можете? А то мне любопытно стало.

[demolishka]

Ну я только начинаю это дело изучать по видеолекциям НМУ. На лекциях была предложена книжка "Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли".

[Someone]

Спасибо, книгу посмотрел. Ничего экзотического не обнаружил.

Уорнер Ф. писал(а):

Дифференцируемым многообразием класса $C^k$ размерности $d$ называется пара $(M,\mathscr F)$, состоящая из локально евклидова пространства $M$ размерности $d$, удовлетворяющего второй аксиоме счетности, и дифференцируемой структуры класса $C^k$

demolishka в сообщении #1278484 писал(а):

Будем говорить, что $N$ (а точнее пара $(N,i)$) есть подмногообразие $M$, если существует гладкое инъективное отображение $i \colon N \to M$, у которого дифференциал всюду инъективен.

Обращаю Ваше внимание на то, что гладкое отображение автоматически непрерывно, и что непрерывное инъективное отображение многообразия в хаусдорфово пространство является локальным гомеоморфизмом на образ (то есть, для каждой точки $x\in N$ существует такая окрестность $Ox\subseteq N$, что отображение $i|_{Ox}$ является гомеоморфизмом $Ox$ на $iOx$. Может быть, это Вам поможет.

Да, как будто бы гладкая (в смысле "гладкая кривая") "восьмёрка" на плоскости имеет четыре топологии, в которых она является многообразием, для которого тождественное отображение в плоскость является непрерывным, но не является вложением в топологическом смысле.

[demolishka]

Ну в общем там эта задача в качестве упражнения на стр. 39, где рекомендуется опираться на теорему 1.32. По факту я и использовал все то, что надо было, только в кучу всего навалил. В терминах идей из теоремы 1.32 я ввел новые координатные отображения в окрестности $p \in A$: $\pi_{\alpha}\circ \varphi_{\alpha} \circ i$ и $\pi_{\beta}\circ \varphi_{\beta} \circ i$, которые гладко склеиваются с данными отображениями $\sigma_{\alpha}$ и $\sigma_{\beta}$ соответственно. Сами карты $\pi_{\alpha}\circ \varphi_{\alpha} \circ i$ и $\pi_{\beta}\circ \varphi_{\beta} \circ i$ гладко склеиваются друг с другом. А далее через такие координаты можно склеить $\sigma_{\alpha}$ и $\sigma_{\beta}$.

Тут действительно можно рассматривать только $i=\operatorname{id}$, так как в любом классе эквивалентности подмногообразий можно выделить такого представителя.

Задача 10 из листка на той же странице и в такой же непонятной формулировке.

[g______d]

demolishka в сообщении #1278566 писал(а):

С наличием таких вложений, если я правильно понял комментарий g______d, разобрались: нужно просто увеличить размерность.

Смотря что значит "таких". Любое многообразие гладко вкладывается в $\mathbb R^n$ (теорема Уитни). Для экзотических $S^7$ может быть так, что $n\ge 9$ (в смысле минимально возможное $n$), но то, что оно есть всегда -- это общий факт. При этом эти вложения в том числе и будут индуцировать на $S^7$ из $\mathbb R^n$ соответствующую экзотическую гладкую структуру, и будет разными для разных (не диффеоморфных) экзотических сфер.

[Slav-27]

demolishka в сообщении #1278484 писал(а):

Будем говорить, что $N$ (а точнее пара $(N,i)$) есть подмногообразие $M$, если существует гладкое инъективное отображение $i \colon N \to M$, у которого дифференциал всюду инъективен.

Гладкое отображение с инъективным в каждой точке дифференциалом называется "погружение" или "иммерсия". "Подмногообразием" многообразия $M$ называют пару $(N,\varphi)$, где $N$ -- многообразие, а $\varphi$ -- отображение $N\to M$, удовлетворяющее определённым условиям, а именно:

1) если многообразия топологические, а $\varphi$ -- гомеоморфизм на образ, то говорят о "топологически вложенном подмногообразии",
2) если многообразия гладкие, а $\varphi$ -- гомеоморфизм на образ, являющийся одновременно погружением, то говорят о "гладко вложенном подмногообразии",
3) если многообразия гладкие, а $\varphi$ -- погружение, то говорят о "погружённом подмногообразии".

Во избежание недопонимания то, что вы называете подмногообразием, можно называть "инъективно погружённым подмногообразием".

-------------------

Утверждение, которое вы доказываете, из той теоремы 1.32 следует очевидно.

Ситуация теоремы 1.32:

$M,N,P$ -- гладкие многообразия, имеются отображения

\xymatrix{ N \ar[rd]_{\psi}^{\text{гладкое}} \ar[dd]_{\psi_0} & \\ & M\\ P \ar[ur]^\varphi _{\text{инъект. погружение}} & \\ }

(при этом $\varphi\psi_0=\psi$).
Утверждение: если $\psi_0$ непрерывное, то и гладкое.

Пусть на множестве $A$ фиксирована топология и заданы 2 гладкие структуры: соответствующие гладкие многообразия обозначим $\overset{1}A$ и $\overset{2}A$. Тогда

Ваша ситуация:

$\overset{1}A,\overset{2}A, M$ -- гладкие многообразия, имеются отображения

\xymatrix{ \overset{1}A \ar[rd]^{\text{инъект. погружение}} \ar[dd]_{\text{гомео}} & \\ & M\\ \overset{2}A \ar[ur] _{\text{инъект. погружение}} & \\ }

(и тоже коммутирует).

(TeX)

А как надписи над стрелками по-русски сделать?

О, спасибо.

------------

Текст в стартовом посте содержит кучу неточностей (особенно с композициями, которые не везде определены), но по сути вроде правильно.

[svv]

(TeX)

Попробуйте окружить русский текст надписи двумя знаками доллара.

[g______d]

(TeX)

По-моему, команда \text более канонична.
\xymatrix{ \overset{1}A \ar[rd]^{\text{инъект. погружение}} \ar[dd]_{\text{гомео}} & \\ & M\\ \overset{2}A \ar[ur] _{\text{инъект. погружение}} & \\ }

[Slav-27]

Что касается 10-й задачи: насколько я понимаю, там разрешено менять топологию, и надо доказать, что ничего не получится. Так что это не частный случай предыдущей.

-- 25.12.2017, 22:37 --

(Оффтоп)

А, вот почему у меня не работало: надо было ещё и вокруг \text{...} скобочки поставить.