Площадь фигуры, ограниченной функцией косинуса.

[tohaf]

Очень глупый вопрос, но.
$ f(x) = \sin(x) $
Найти площадь от $0$ до $2\pi$ с одной стороны ограниченную $OX$, с другой, собственно, функцией.
Очевидно, что определённый интеграл на этом промежутке будет равен 0, из-за того что функция отрицательна на половине периода. Если проинтегрировать от нуля до пи и умножить на два будет равна 4.
А как по-правильному найти такую площадь? Есть какая-то формула?

[gris]

У Вас в заголовке косинус, а спрашиваете про синус.
Формула такая есть. Ньютона-Лейбница.
Интегрируйте модуль функции.

[Pphantom]

tohaf в сообщении #1278031 писал(а):

А как по-правильному найти такую площадь? Есть какая-то формула?

Именно специальной формулы скорее нет, а фактически Вы это уже сделали:

tohaf в сообщении #1278031 писал(а):

Если проинтегрировать от нуля до пи и умножить на два будет равна 4.

[tohaf]

gris в сообщении #1278036 писал(а):

Интегрируйте модуль функции.

То есть $ y(x) =\left\lvert \cos(2x)\right\rvert$ ?
А как такие интегралы решать? Или единого способа нет?
Мне было интересно посчитать путь, который пройдёт координата точки, движущейся по окружности единичного радиуса. Ну и пока, как я понял, единственный вариант - это с помощью 2 найти "период" такой функции и проинтегрировать на половине периода, после чего умножить на количество полупериодов. $ T = \frac{2 \pi}{w} = \frac{2 \pi}{2} $.

[provincialka]

tohaf в сообщении #1278251 писал(а):

путь, который пройдёт координата точки, движущейся по окружности единичного радиуса

Именно путь? А при чем тут тогда площадь? Координата "мотается туда-сюда", ее "путь" состоит из прямолинейных отрезков. Или вы не декартову координату имеете в виду?

[gris]

tohaf, я отвечал ровно на тот вопрос, который Вы задали. В задачниках по матану бывают задачи типа "найти площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми $x=1;x=7$ и кривой $y=x^2-8x+15$. Универсальная формула для подобных задач это $S=\int\limits_a^b |y|\;dx$. Иногда её можно употребить облегчённо с помощью симметрии, как это Вы сделали, а в общем случае приходится модуль раскрывать и интегрировать по отрезкам знакопостоянства.

[tohaf]

provincialka в сообщении #1278257 писал(а):

Именно путь? А при чем тут тогда площадь? Координата "мотается туда-сюда", ее "путь" состоит из прямолинейных отрезков.

Ну, в смысле что путь - это интеграл, а интеграл (в геометрическом смысле) это площадь... Просто я спрашивал в математической части форума, поэтому подумал, что так будет правильнее.
Просто, очевидно, что если координата перемещается от $1$ до $-1$ и обратно, то это будет 4. Но как это красиво оформляется...

gris в сообщении #1278269 писал(а):

Иногда её можно употребить облегчённо с помощью симметрии, как это Вы сделали, а в общем случае приходится модуль раскрывать и интегрировать по отрезкам знакопостоянства.

Я понял, спасибо.

Pphantom в сообщении #1278078 писал(а):

Именно специальной формулы скорее нет

Спасибо.

[Walker_XXI]

tohaf в сообщении #1278251 писал(а):

Мне было интересно посчитать путь, который пройдёт координата точки, движущейся по

В общем случае движения по произвольной кривой нужно параметризовать кривую, т.е. записать уравнения зависимости координат от третьей переменной - произвольного параметра $t$ в виде $x=x(t)$ и $y=y(t)$, затем найти производную интересующей вас координаты и проинтегрировать её модуль. Если, например, параметр выбран таким образом, что при его изменении от $0$ до $1$ точка пробегает всю кривую, то путь, проходимый координатой $x$ равен $s=\int\limits_{0}^{1}|\dot{x}(t)|\,dt$, где точкой обозначена производная по $t$.

Это если я впопыхах ничего не напутал :)

[Lia]

tohaf в сообщении #1278251 писал(а):

Мне было интересно посчитать путь, который пройдёт координата точки, движущейся по окружности единичного радиуса.

tohaf в сообщении #1278278 писал(а):

Просто, очевидно, что если координата перемещается от $1$ до $-1$ и обратно, то это будет 4.

"Путь координаты" это что-то незаурядное. Колебание (вариация, смотря что нужно) может быть? А путь у точки бывает при движении по окружности.

Что на самом деле нужно? Сформулируйте исходную задачу, пожалуйста.

[arseniiv]

Если интересует просто путь, который проходит точка за промежуток времени $T$, то я уже писал в одной из тем ТС о движении по окружности, что это по определению интеграл $\int_T |\mathbf v(t)|\,dt$, чего гадать до сих пор?

[Lia]

А, елки. Не признала. arseniiv, спасибо.

tohaf
Вы завели в физическом разделе довольно подробную тему, посвященную этому вопросу. Большая просьба не искать каких-то иных, более легких и обходных путей, их просто нет, а люди там затратили большие усилия на то, чтобы донести что-то до Вас.

Замечание за очередную попытку дублирования обсуждения в другом разделе.
Тема закрыта.