Движение тела, брошенного вверх

[AnnetKo]

Здравствуйте, помогите, пожалуйста, разобраться в данной задаче:
Камень, брошенный вертикально вверх, пролетел мимо окна через 1с после броска на пути вверх и через 3с после броска на пути вниз. Найдите высоту окна над землей и начальную скорость камня.

Я пыталась разобраться с этой задачей и у меня есть вопрос.
Я разбила задачу на 2 подзадачи: когда тело летит вверх и когда тело летит вниз. Для каждого случая составила уравнение движения для координаты, в которой находится окно.

$$\left\{ \begin{array}{rcl} h=\upsilon_0t_1-\frac{gt_1^2}{2}\\ h=H+\frac{gt_2^2}{2}\\ \end{array} \right.$$

,где $H$ - это высота, которую достигает камень, после чего летит вниз,
$h$ - высота, на которой находится окно
Если я убираю эту высоту $H$, то решая систему я получаю ответы $\upsilon_0= 20 $м/с и $h= 15$ метров. И эти ответы совпадают с ответами в учебнике. Но я никак не пойму, почему нужно убрать $H$. Ведь уравнение движения следующее:

$$x=x_0+\upsilon_0t+\frac{1}{2}at^2$$

Тогда, для случая, когда камень летит вниз с высоты $H$ будет так:

$$h=H+\underbrace{\upsilon_0t_2}_{\upsilon_0=0}+\frac{gt_2^2}{2}$$

$$h=H+\frac{gt_2^2}{2}$$

Подскажите, почему при падении камня вниз не учитывается начальная высота $H$?

[mihaild]

Из второго уравнения вашей системы получается, что через одну секунду после начала спуска высота камня будет больше $H$...
Ну и задачу можно решать, например, так: у вас есть общее уравнение движения (и на случай спуска, и на случай подъема), и вы знаете, что если подставить в него одну или три секунды, то получится одно и то же значение - высота окна. Из этого можно найти $v_0$ и дальше уже всё выписывается легко.
Либо можно заметить, что падение и спуск симметричны и сразу найти, в какой момент будет достигнута максимальная высота, из чего опять же легко найти $v_0$.

[wrest]

AnnetKo в сообщении #1277979 писал(а):

$$h=H+\frac{gt_2^2}{2}$$

Надо вам нарисовать что и как направлено, а то у вас получается при движении вниз $h$ увеличивается.

[AnnetKo]

wrest в сообщении #1277990 писал(а):

AnnetKo в сообщении #1277979 писал(а):

$$h=H+\frac{gt_2^2}{2}$$

Надо вам нарисовать что и как направлено, а то у вас получается при движении вниз $h$ увеличивается.

Знак "+" я получила потому, что при спуске я поменяла направление положительного вектора. Почему-то я подумала, что так можно. Теперь вижу, что это неправильно.

-- 23.12.2017, 17:05 --

mihaild в сообщении #1277986 писал(а):

Из второго уравнения вашей системы получается, что через одну секунду после начала спуска высота камня будет больше $H$...
Ну и задачу можно решать, например, так: у вас есть общее уравнение движения (и на случай спуска, и на случай подъема), и вы знаете, что если подставить в него одну или три секунды, то получится одно и то же значение - высота окна. Из этого можно найти $v_0$ и дальше уже всё выписывается легко.
Либо можно заметить, что падение и спуск симметричны и сразу найти, в какой момент будет достигнута максимальная высота, из чего опять же легко найти $v_0$.

Я не понимаю, как можно составить общее уравнение движения.

$$x=x_0+\upsilon_0t+\frac{1}{2}at^2$$

Для точки $h$ высоты окна во время подъема камня вверх $x_0=0$, а во время спуска $x_0=H$. Т.е. общим уравнение получается быть не может. Т.е. все также получается (кроме знака во втором уравнении):

$$\left\{ \begin{array}{rcl} h=\upsilon_0t_1-\frac{gt_1^2}{2}\\ h=H-\frac{gt_2^2}{2}\\ \end{array} \right.$$

Т.е. опять $H$ остается. Объясните пожалуйста.

Цитата:

Либо можно заметить, что падение и спуск симметричны и сразу найти, в какой момент будет достигнута максимальная высота, из чего опять же легко найти $v_0$.

Тут я тоже опять уперлась в максимальную высоту $H$. Т.е. время, за которое достигнута максимальная высота равно $t=2$ секунды, тогда уравнение движения выглядит так:

$$H=\upsilon_0t_2-\frac{gt_2^2}{2}$$

$$H=2\upsilon_0-20$$

$$\upsilon_0=\frac{H}{2}+10$$

Опять осталась высота $H$.

[mihaild]

AnnetKo в сообщении #1277993 писал(а):

$x=x_0+\upsilon_0t+\frac{1}{2}at^2$

Вот это и есть уравнение движения. Выбираете любой момент времени, берете в качестве $x_0$ высоту камня в этот момент, а в качестве $v_0$ скорость в этот момент. Только нужно не запутаться в знаках (помните, что скорость и ускорение величины векторные, в данном случае, т.к. движение одномерное - числа, но знак важен).

AnnetKo в сообщении #1277993 писал(а):

Опять осталась высота $H$.

Попробуйте написать зависимость скорости от времени, и подумайте, чему равна скорость в момент $t_2$ (достижения максимальной высоты).

[atlakatl]

Камень вверх и вниз летит строго симметрично. Проще рассмотреть его падение. До окна он летел $(3-1)/2=1$ сек, до земли ещё 1 сек.
Дальше легко.

[AnnetKo]

mihaild в сообщении #1278027 писал(а):

AnnetKo в сообщении #1277993 писал(а):

$x=x_0+\upsilon_0t+\frac{1}{2}at^2$

Вот это и есть уравнение движения. Выбираете любой момент времени, берете в качестве $x_0$ высоту камня в этот момент, а в качестве $v_0$ скорость в этот момент. Только нужно не запутаться в знаках (помните, что скорость и ускорение величины векторные, в данном случае, т.к. движение одномерное - числа, но знак важен).

Не понимаю, что вы имеете в виду. Вроде как я итак этим занималась, когда составила систему уравнений. Или нет? Объясните, пожалуйста.

Цитата:

AnnetKo в сообщении #1277993 писал(а):

Опять осталась высота $H$.

Попробуйте написать зависимость скорости от времени, и подумайте, чему равна скорость в момент $t_2$ (достижения максимальной высоты).

По этому методы нашла все необходимые величины. Получается, что при решении задачи нужно было найти время достижения максимальной скорости, а зная это время уже можно найти начальную скорость при подъеме (или скорость в момент удара каменя о землю).

[wrest]

AnnetKo
Вот график движения камня. По горизонтали отложены секунды с начала броска, по вертикали - метры высоты.


-- 23.12.2017, 20:23 --

AnnetKo в сообщении #1278077 писал(а):

Получается, что при решении задачи нужно было найти время достижения максимальной скорости,

Нет, не максимально а минимальной, то есть - нулевой -- в верхней точке. Время подъема с момента пролета окна равно времени спуска от верхней точки до окна. На всё про всё две секунды, значит время подъема от кона до верхней точки-- одна секунда, откуда находите скорость в момент пролета окна. Она одна и таже что при полете вверх что при полете вниз, но с разным знаком. Зная скорость при пролете окна, вычисляете скорость за секунду до этого при полете вверх (или через секунду после этого при полете вниз - это одна и та же скорость но с разным знаком).

[AnnetKo]

wrest в сообщении #1278081 писал(а):

AnnetKo
Вот график движения камня. По горизонтали отложены секунды с начала броска, по вертикали - метры высоты.


-- 23.12.2017, 20:23 --

AnnetKo в сообщении #1278077 писал(а):

Получается, что при решении задачи нужно было найти время достижения максимальной скорости,

Нет, не максимально а минимальной, то есть - нулевой -- в верхней точке. Время подъема с момента пролета окна равно времени спуска от верхней точки до окна. На всё про всё две секунды, значит время подъема от кона до верхней точки-- одна секунда, откуда находите скорость в момент пролета окна. Она одна и таже что при полете вверх что при полете вниз, но с разным знаком. Зная скорость при пролете окна, вычисляете скорость за секунду до этого при полете вверх (или через секунду после этого при полете вниз - это одна и та же скорость но с разным знаком).

Спасибо большое, разобралась. График очень классный, а в какой программе он сделан, если не секрет?

[wrest]

AnnetKo
В этой: https://www.geogebra.org/graphing

[AnnetKo]

wrest в сообщении #1278427 писал(а):

AnnetKo
В этой: https://www.geogebra.org/graphing

Спасибо и еще раз спасибо за помощь с задачей