Решить систему уравнений

[Men007]

Решить систему уравнений методом составления характеристического уравнения (методом Эйлера):
$\left\{ \begin{array}{rcl} y'+z'=2z \\ 3y'+z'=y+9z \\ \end{array} \right.$

Решение:
$\left\{ \begin{array}{rcl} y'+z'=2z \\ 3y'+z'=y+9z \\ \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{rcl} y'+z'=2z \\ z'=y+9z-3y' \\ \end{array} \right.$

Подставляем $z'=y+9z-3y'$ в первое уравнение системы:
$y'+y+9z-3y'=2z$
$y'=\frac{7z}{2}+\frac{y}{2}$

Подставим $y'=\frac{7z}{2}+\frac{y}{2}$ в первое уравнение системы и выразим $z'$:
$\frac{7z}{2}+\frac{y}{2}+z'=2z$
$z'=-\frac{3z}{2}-\frac{y}{2}$

Следовательно, имеем:
$\left\{ \begin{array}{rcl} y'=\frac{7z}{2}+\frac{y}{2} \\ z'=-\frac{3z}{2}-\frac{y}{2}\\ \end{array} \right.$

Составляем характеристическое уравнение:
$\begin{bmatrix} (\frac{7}{2}-k) \ (\frac{1}{2}) \\ (-\frac{3}{2}) \ (-\frac{1}{2}-k) \\ \end{bmatrix} =0 $

Откуда:
$(\frac{7}{2}-k)(-\frac{1}{2}-k)+\frac{3}{4}=0$
$k^{2}-3k-1=0$
$k_{1}=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$, $k_{2}=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$.

Таким образом, общее решение имеет вид:
$\left\{ \begin{array}{rcl} y(x)=C_{1}a_{1}e^{t(\frac{3+\sqrt{13})}{2}}+C_{2}a_{2}e^{t(\frac{3-\sqrt{13})}{2}} \\ z(x)=C_{1}b_{1}e^{t(\frac{3+\sqrt{13})}{2}}+C_{2}b_{2}e^{t(\frac{3-\sqrt{13})}{2}} \\ \end{array} \right.$.

Далее находим $a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}$.
Рассмотрим корень $k_{1}=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$:
$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{4-\sqrt{13}}{2}a_{1}+\frac{1}{2}b_{1}=0 \\ -\frac{3}{2}a_{1}-\frac{4+\sqrt{13}}{2}b_{1}=0 \\ \end{array} \right.$

И вот на этом шаге возникает вопрос:
$\left\{ \begin{array}{rcl} b_{1}=-\sqrt{13}a_{1} \\ b_{1}=-\frac{3}{4+\sqrt{13}}a_{1} \\ \end{array} \right.$
Скорей всего, где-то в решении ошибка. Но найти ее я не могу.

[DeBill]

Men007 в сообщении #1275761 писал(а):

Составляем характеристическое уравнение:

Перепутан порядок следования переменных

[Men007]

DeBill
Исправил:
$\begin{bmatrix} (\frac{1}{2}-k) \ (\frac{7}{2}) \\ (-\frac{1}{2}) \ (-\frac{3}{2}-k) \\ \end{bmatrix} =0 $

Откуда:
$(\frac{1}{2}-k)(-\frac{3}{2}-k)+\frac{7}{4}=0$
$-\frac{3}{4}-\frac{1}{2}k+\frac{3}{2}k+k^{2}+\frac{7}{4}=0$
$k^{2}+k+1=0$
$D=-3$
И как в таком случае действовать дальше?

[DeBill]

Men007
Да без проблем: работайте с комплексными числами. Ну, а в конце можно - по формуле Эйлера - переписать все через синусы-косинусы....

[Someone]

Men007 в сообщении #1275761 писал(а):

Подставляем $z'=y+9z-3y'$ в первое уравнение системы:

А зачем нужны все эти подстановки? Характеристическое уравнение составляется сразу по исходной системе:

$$\begin{vmatrix}k & k-2 \\ 3k-1 & k-9\end{vmatrix}=0.$$

Замечания.
1) Никогда не видел, чтобы определитель записывался с квадратными скобками.
2) Элементы матрицы в одной строке разделяются символом $\&$.
3) Для набора систем уравнений удобно использовать окружение cases.

[ludwig51]

Men007 в сообщении #1275761 писал(а):

Далее находим $a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}$.
Рассмотрим корень $k_{1}=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$:
$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{4-\sqrt{13}}{2}a_{1}+\frac{1}{2}b_{1}=0 \\ -\frac{3}{2}a_{1}-\frac{4+\sqrt{13}}{2}b_{1}=0 \\ \end{array} \right.$

И вот на этом шаге возникает вопрос:
$\left\{ \begin{array}{rcl} b_{1}=-\sqrt{13}a_{1} \\ b_{1}=-\frac{3}{4+\sqrt{13}}a_{1} \\ \end{array} \right.$
Скорей всего, где-то в решении ошибка. Но найти ее я не могу.

Вы перепутали порядок следования переменных.
И получили другое решение.
Но и в этом решении вы сделали одну алгебраическую ошибку.
Правильно так:

$b_{1}=(-4+\sqrt{13})a_{1}$
$b_{1}=-\frac{3}{4+\sqrt{13}}a_{1} $

И вы получаете два одинаковых значения для $b_1$

[Men007]

Вот мое решение данной системы дифференциальных уравнений:

$\left\{ \begin{array}{rcl} y'+z' &=& 2z \\ 3y'+z' &=& y+9z \\ \end{array} \right.$

Составляем характеристическое уравнение и решаем его:

$$\begin{bmatrix} k & k-2 \\ 3k-1 & k-9 \end{bmatrix} =0 $$

$k(k-9)-(3k-1)(k-2)=0$
$k^{2}+k+1=0$

$k_{1}=-\frac{1}{2}+i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$k_{2}=-\frac{1}{2}-i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Рассмотри случай при $k_{1}=-\frac{1}{2}+i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$\begin{bmatrix} -\frac{1}{2}+i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{5}{2}+i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\\ -\frac{5}{2}+3i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{19}{2}+i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} =0 $$

$(-\frac{1}{2}+i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})\alpha_{1}+(-\frac{5}{2}+i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})\alpha_{2}=0$
Отсюда находим:
$\alpha_{1}=\frac{5}{2}-i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\alpha_{2}=-\frac{1}{2}+i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Следовательно, имеем:
$y=(\frac{5}{2}-i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})e^{(-\frac{1}{2}+i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})\cdot t}=(\frac{5}{2}-i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})e^{-\frac{t}{2}}(\cos(\frac{t\sqrt{3}}{2})+i \cdot \sin(\frac{t\sqrt{3}}{2}))$
$y_{1}=(\frac{5}{2}-i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})e^{-\frac{t}{2}} \cos(\frac{t\sqrt{3}}{2})$
$y_{2}=(\frac{5}{2}-i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})e^{-\frac{t}{2}} i \cdot \sin(\frac{t\sqrt{3}}{2})$

$z=(-\frac{1}{2}+i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})e^{(-\frac{1}{2}+i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})\cdot t}=(-\frac{1}{2}+i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})e^{-\frac{t}{2}}(\cos(\frac{t\sqrt{3}}{2})+i \cdot \sin(\frac{t\sqrt{3}}{2}))$
$z_{1}=(-\frac{1}{2}+i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})e^{-\frac{t}{2}} \cos(\frac{t\sqrt{3}}{2})$
$z_{2}=(-\frac{1}{2}+i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})e^{-\frac{t}{2}} i \cdot \sin(\frac{t\sqrt{3}}{2})$

Таким образом, получим систему:
$\left\{ \begin{array}{rcl} y(t) &=& C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}\\ z(t) &=& C_{1}z_{1}+C_{2}z_{2}\\ \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{rcl} y(t) &=& C_{1}(\frac{5}{2}-i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})e^{-\frac{t}{2}} \cos(\frac{t\sqrt{3}}{2}) + C_{2}(\frac{5}{2}-i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})e^{-\frac{t}{2}} i \cdot \sin(\frac{t\sqrt{3}}{2})\\ z(t) &=& C_{1}(-\frac{1}{2}+i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})e^{-\frac{t}{2}} \cos(\frac{t\sqrt{3}}{2}) + C_{2}(-\frac{1}{2}+i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})e^{-\frac{t}{2}} i \cdot \sin(\frac{t\sqrt{3}}{2})\\ \end{array} \right.$

Используя формулы Эйлера, а также производя замену констант, получим:
$\left\{ \begin{array}{rcl} y(t) &=& e^{-\frac{t}{2}} ((C_{3}-C_{4})\cos(\frac{t\sqrt{3}}{2}) + (C_{5}+C_{6})\sin(\frac{t\sqrt{3}}{2}))\\ z(t) &=& e^{-\frac{t}{2}} ((C_{4}-C_{3})\cos(\frac{t\sqrt{3}}{2}) - (C_{5}+C_{6})\sin(\frac{t\sqrt{3}}{2}))\\ \end{array} \right.$

[Men007]

В итоге, верно я решил или нет?
Просто возможно я напутал где-то со знаками или переопределил константу неверно?

[Pphantom]

Основная часть правильна, а вот насчет констант... в итоговых выражениях независимых констант можно сделать две, после чего просто проверить результат дифференцированием и подстановкой в исходную систему.

[Men007]

У меня, как можно заметить из двух последних систем получается, что $y(t)=-z(t)$, что противоречит уже первому дифференциальному уравнению исходной системы $y'+z'=2z$. Так как при подстановке $y'$ и $z'$ мы получим $y'+z'=0$.
В таком случае, не понимаю, где ошибка.

[ludwig51]

Men007
Ваше решение неверное.
Прочитайте внимательно теорию:
Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

http://edu.sernam.ru/book_p_math2.php?id=32

И проверьте своё решение, как вам посоветовал Pphantom