Да, всё верно. Здесь есть одна тонкость.
Пусть

— квадратная матрица, которую мы хотим исследовать,

— невырожденная квадратная матрица того же размера.
Матрицы

и

(либо

) называются
подобными. А переход от

к

называется преобразованием подобия. У подобных матриц совпадают собственные значения (даже с учётом их кратности), ранг, определитель, характеристический полином и некоторые другие свойства.
Это и неудивительно, потому что преобразование подобия возникает при переходе от одного базиса к другому, а перечисленные свойства не зависят от базиса (чем и ценны).А вот переход от

к

всех этих свойств, в общем случае, не сохраняет. Такое преобразование давайте называть «
фальшивое подобие»
(на самом деле — преобразование конгруэнтности).
Пусть вместо матрицы

мы взяли матрицу

, где

— некоторый другой вектор-столбец, который для нас более удобен;

— преобразующая матрица. Посмотрим, что мы натворили:

Получается, что уважаемый
Slav-27 предложил нам
фальшивое подобие, которое ничего интересного не сохраняет?
Но вчитаемся внимательно. Он говорил не о каком попало преобразовании, а о
повороте. А поворот описывается
ортогональной матрицей

, со свойством

. И в этом частном случае фальшивое подобие оказывается настоящим:

И тогда у

собственные значения и всё, что я перечислил, будут те же, что у

.