Грань на субдифференциал

[amarsianin]

Для непрерывной функции $F: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R$ вектор $v$ являтся (проксимальным) субградиентом в точке $x$, если существуют $r>0, \delta >0$ такие, что следующая формула верна:

$\forall y \; \text{т. ч.} \; \|y-x\| \le r \quad F(y) \le F(x) + \langle v, y-x \rangle - \delta \| y-x \|^2$

Множество всех таких векторов является проксимальным субдифференциалом и обозначается $\partial_P F(x)$.

Вектор $v_{\varepsilon}$ называется (проксимальным) $\varepsilon-$субградиентом в точке $x$, если:

$\exists r_{\varepsilon}>0, \delta_{\varepsilon} >0 \; \forall y \; \text{т. ч.} \; \|y-x\| \le r_{\varepsilon} \quad F(y) \le F(x) + \langle v_{\varepsilon}, y-x \rangle - \delta_{\varepsilon} \| y-x \|^2 - \varepsilon$

$\varepsilon-$субдифференциал обозначим $\partial^{\varepsilon}_P F(x)$.

Зафиксируем $\varepsilon_1$. Разыскивается такое $\varepsilon$, что

$\partial^{\varepsilon}_P F(x) \subseteq \partial_P F(x) + \mathcal B_{\varepsilon_1}$, где $B_{\varepsilon_1}$ -- шар с центром в нуле и радиуса $\varepsilon_1$.

Интересует ссылка на подобный результат и желательно, чтобы $\varepsilon$ можно было выразить в терминах доступных переменных, как то $\varepsilon_1$ и т. д.

Возможно наложение опред. доп. условий на $F$.