Вид частного решения дифференфиального уранвнения

[timas-cs]

Нужно определить вид частного решения для $-x-3$
${y}^{6}-18{y}^{4}+81y''={e}^{3x}-5x{e}^{-3x}+\cos3x-x-3$
Общее
${\lambda}^{4}({\lambda}^{2}-9)-9{\lambda}^{2}({\lambda}^{2}-9)=0$
$({\lambda}^{4}-9{\lambda}^{2})({\lambda}^{2}-9)=0$
Два корня $= 0$, два $= 3$, два $=-3$.

В данном случае для нулевых корня совпадают со степенью $x$ при 3 (то есть ${x}^{0}$)
И нужно домножить $Ax+B$ на $x^2$.
Так ли это?
И главный вопрос: есть ли какие-то способы быстро и просто определять вид частного решения? Или все время сверяться с таблицей на 3 страницы?

[Lia]

Производная порядка $n$ пишется так $y^{(n)}$.
Правая часть уравнения наверняка не так выглядит.

timas-cs в сообщении #1275794 писал(а):

Или все время сверяться с таблицей на 3 страницы?

С какой таблицей?

[Someone]

timas-cs в сообщении #1275794 писал(а):

Или все время сверяться с таблицей на 3 страницы?

Что там такое можно на трёх страницах написать? По-моему, на одной прекрасно помещается. По существу, информации там очень мало: для правых частей такого-то типа вид частного решения совпадает с видом правой части, возможно, чуть подправленным и домноженным на некоторую степень независимой переменной.

timas-cs в сообщении #1275794 писал(а):

есть ли какие-то способы быстро и просто определять вид частного решения?

Запомнить таблицу.

[timas-cs]

Someone
Понял. Но там не было такого момента: корень равен нулю и одно из слагаемых справа - цифра. Хотел уточнить этот момент.

[Someone]

timas-cs в сообщении #1275811 писал(а):

корень равен нулю и одно из слагаемых справа - цифра.

"Цифра" (правильный термин — "число") — это многочлен нулевой степени. Цифры — это значки, используемые для записи чисел (не считая унарного минуса, который может указывать знак числа).

[D'Amir]

Таблицу можно и не запоминать.

Это так называемые дифференциальные уравнения со специальной правой частью. В правой части у них - квазиполином (или их сумма). Квазиполином имеет следующий вид:

$$f(x) = e^{\alpha x}(A(x) \cdot \cos(\beta x) + B(x) \cdot \sin (\beta x)).$$

$A(x)$, $B(x)$ здесь - полиномы.

Если правая часть уравнения имеет такой вид, то и частное решение будет иметь почти такой же вид, а именно

$$y_p = e^{\alpha x}x^r(P(x) \cdot \cos(\beta x) + Q(x) \cdot \sin (\beta x)).$$

Здесь $\alpha$ и $\beta$- те же самые числа, что и в $f(x)$. $P(x)$ и $Q(x)$ - полинмы с неопределёнными коэффициентами, имеющие степень, равную максимальной степени полиномов $A(x)$ и $B(x)$. Например, если $A(x) = x^2$, $B(x) = x^3$, то $P(x)$ и $Q(x)$ будут иметь степень 3.

Число $r$ равно нулю, если число $\alpha + i \beta$ не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, которое вы решали в самом начале. То есть в вашем случае если $\alpha + i \beta$ не равно $0$, $3$ или $-3$, то $r$ будет равно нулю. Если же совпадение есть, то число $r$ равно числу повторений (кратности) этого корня. Например, если $\alpha + i \beta = 0$, то за $r$ вы берёте $2$, потмоу что $0$ у вас повторяется два раза.

Фактически нужно всего лишь подобрать числа и полиномы в записи для $y_p$, чтобы она совпала с данным вам в уравнении $f(x)$.

Пример. Рассмотрим ваше уранвение в "укороченном" виде. пусть, например, это будет уравнение

$$y^{(6)} - 18y^{(4)} + 81y'' = -5xe^{-3x}$$

Правая часть, очевидно, является квазиполиномом:

$$f(x) = e^{\alpha x}(A(x) \cdot \cos(\beta x) + B(x) \cdot \sin (\beta x)).$$

Попробуем подобрать коэффициенты. очевидно, что $\alpha = -3$. Синусов и косинусов у нас нет. Как можно этого добиться, выбирая $\beta$? Например, при $\beta = 0$ у нас

$$\cos (\beta x) = \cos (0 \cdot x) = 1,$$

а

$$\sin (\beta x) = \sin (0 \cdot x) = 0.$$

То есть, если мы подставим теперь $\alpha = -3$ и $\beta = 0$ в выражение $f(x)$, то получим

$$f(x) = e^{-3x}(A(x) \cdot 1 + B(x) \cdot 0) = e^{-3x} \cdot A(x).$$

Чему должен равняться полином $A(x)$, чтобы получилась данная нам в уравнении правая часть? Очевидно, что $A(x) = -5x$. А чему должен равняться $B(x)$? В принципе чему угодно. Для простоты мы можем положить, что $B(x) = 0$.

Таким образом, мы получили следующее:

$$\alpha = -3, \beta = 0, A(x) = -5x, B(x) = 0.$$

Мы знаем, что частное решение должно иметь следующий вид:

$$y_p = e^{\alpha x}x^r(P(x) \cdot \cos(\beta x) + Q(x) \cdot \sin (\beta x)).$$

Мы знаем $\alpha$ и $\beta$, но не знаем $P(x)$, $Q(x)$ и $r$. Начнём с $r$. Составим число $\alpha + i \beta = -3 + i \cdot 0 = -3$. Был ли у нас такой корень характеристического уравнения? Был. Какова была его кратность? Два. Значит, $r = 2$.

Осталось определиться с $P(x)$ и $Q(x)$. Для этого посмотрим на полиномы $A(x)$ и $B(x)$. Степень полинома $A(x)$ равна 1 (так как $x$ в первой степени). Очевидно, что степень $A(x)$ больше степени $B(x)$ (вообще, считается, что ноль - эт ополином в степени минус бесконечность).

Таким образом, если старшая степень равна $1$, то $P(x)$ и $Q(x)$ будут полиномами с неопределёнными коэффициентами степени 1, а именно

$$P(x) = p_0 + p_1x, Q(x) = q_0 + q_1x.$$

(Если нужна большая степень, то добавляем слагаемые $p_2x^2$, $p_3x^3$ и так далее).

В данном случае $Q(x)$ в записи частного решения участвовать не будет, так как умножается на $\sin (\beta x) = \sin (0 \cdot x) = 0$. Частное решение, таким образом, будет иметь следующий вид:

$$y_p = = e^{-3 x}x^2(p_0 + p_1 x).$$

Подставив его в данное уравнение, можно определить, чему равны $p_0$ и $p_1$.

По такой же схеме можно разобрать и все остальные слагаемые в правой части. Причём можно решить рассматриваемое уравнение "по кусочкам" - то есть сначала с первым слагаемым в правой части, потом со вторым, потом с третьим и так далее, сложить все полученные решения и окажется, что эта сумма будет частным решение всего исходного уравнения.

Если потренироваться в решении 5-10 уравнений по такой схеме, Вы их будете щёлкать как орешки. И фактически всё, что нужно знать, - это две формулы для $f(x)$ и $y_p$ (которые почти совпадают).

[timas-cs]

D'Amir
Спасибо большое за подробное объяснение. Все стало на много понятенее.

Начал прорешивать номера из задачника и столкнулся с проблемой. Ответ не сходится с ответом из решебника. Уже 10 все перепроверил.


$\lambda_{1}=4+\sqrt{i}$
$\lambda_{2}=4-\sqrt{i}$
Правая часть вида ${e}^{4x}x^2+{e}^{4x}3x \sin x$
С первым слагаемым понятно.
Для второго частное решение будет в виде
$y_p = e^{\alpha x}x^r(P(x) \cdot \cos(\beta x) + Q(x) \cdot \sin (\beta x)).$
В данном случае $\alpha=4$ ,$r=1$(совпадает с одним корнем)
Максимальная степень полиномом $= 1$
Итого, ответ : $y_p = e^{4 x}(Ex^2+Fx+J) + e^{4 x}x((Ax+B) \cdot \cos( x) + (Cx+D) \cdot \sin ( x))$
Но там ответ для первого слагаемого совпадает, а для второго - нет. Там просто $e^{4 x}(\cos x + \sin x)$

[provincialka]

timas-cs в сообщении #1277051 писал(а):

$\lambda_{1}=4+\sqrt{i}$
$\lambda_{2}=4-\sqrt{i}$

Вы уверены, что здесь правильно записано? Поправьте!

[timas-cs]

provincialka
Да уверен. Это не для уравнения из первого поста, а для уравнения из учебника. Не стал полностью его переписывать, начал с момента нахождения корней хар-го уравнения

UPD ошибка все-таки есть. i не под корнем

[provincialka]

Просто корень из $i$ -- это что-то непонятное (в данном контексте). Он имеет два значения, соответственно, у вас получается 4 значения для лямбда.

-- 21.12.2017, 14:23 --

А! Заметили! А что под корнем? Ничего?

-- 21.12.2017, 14:25 --

В общем, довольно трудно ответить на вопрос "что неправильно", когда не знаешь ни задачи, ни хода решения.

[timas-cs]

provincialka

$y''-8y'+17y={e}^{4x}x^2+{e}^{4x}3x \sin x$

Корни характеристического
$\lambda_{1}=4+i$
$\lambda_{2}=4-i$

Для первого слагаемого понял, как искать.
Для второго частное решение будет в виде
$y_p = e^{\alpha x}x^r(P(x) \cdot \cos(\beta x) + Q(x) \cdot \sin (\beta x)).$
$\alpha=4$ ,$r=1$(совпадает с одним корнем)
Максимальная степень полиномом $= 1$

Ответ
$y_p = e^{4 x}(Ax^2+Bx+C) + e^{4 x}x((Dx+E) \cdot \cos( x) + (Fx+J) \cdot \sin ( x))$

Но в решебнике ответ
$e^{4 x}(\cos x + \sin x)$

[Someone]

А там каких-нибудь начальных условий в условии задачи нет?

[provincialka]

Someone в сообщении #1277308 писал(а):

А там каких-нибудь начальных условий в условии задачи нет?

Даже при начальных условиях множитель $x$ перед скобкой никуда не пропадет...

А! Ну, разве что всё это слагаемое равно 0

[Someone]

provincialka в сообщении #1277311 писал(а):

Даже при начальных условиях множитель $x$ перед скобкой никуда не пропадет...

Ну да, я всё-таки ерунду написал.

timas-cs в сообщении #1277294 писал(а):

Но в решебнике ответ
$e^{4 x}(\cos x + \sin x)$

Если подставить этот ответ в уравнение, то равенства не получится. Поскольку множители $x^2$ и $x$ не появятся. Так что неправильный ответ в решебнике.

[svv]

timas-cs
Ответ в решебнике неправильный.
Но и Ваш ответ — не ответ. Частное решение действительно имеет такой вид, как Вы написали. Но это не значит, что это выражение будет решением при любых значениях констант $A, B, C, ...$. Эти константы — не произвольные константы. Их ещё надо подобрать так, чтобы Ваше выражение удовлетворяло уравнению.