Доказать гомеоморфизм

[PeterSam]

Здравствуйте! Необходимо доказать, что:
1) любые две окружности (как подпространства плоскости с обычной топологией), гомеоморфны;
2) любой эллипс гомеоморфен любой окружности;
3) любые два треугольника гомеоморфны.

Как рассуждаю я.
1) Чтобы доказать, что любые две окружности гомеоморфны, нужно предъявить непрерывное отображение, переводящее окружность в окружность, причём это отображение должно быть биекцией, а обратное отображение должно быть непрерывным.
Мы знаем, что окружность можно перевести в любую окружность преобразованием подобия.
Уравнения подобия в прямоугольной системе координат:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x'=kx\cos\varphi - ky\sin\varphi + a \\ y'=kx\sin\varphi + ky\cos\varphi + b \\ \end{array} \right.$$

Для окружностей достаточно следующих формул (преобразование поворота осуществлять необязательно):

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x'=kx + a \\ y'=ky + b \\ \end{array} \right.$$

Теперь, как я понимаю, нужно показать, что искомый гомеоморфизм осуществляют эти две функции (они являются линейными). То есть, нужно для каждой функции доказать, что она непрерывна, является биекцией, и обратная ей функция непрерывна? Можно ли непрерывность доказывать методами анализа?

3) Для треугольников, как я понимаю, доказательство аналогично. Нужное отображение осуществляют формулы подобия в прямоугольной системе координат (в полном виде):

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x'=kx\cos\varphi - ky\sin\varphi + a \\ y'=kx\sin\varphi + ky\cos\varphi + b \\ \end{array} \right.$$

2) Доказать, что любой эллипс гомеоморфен любой окружности. Мы знаем, что эллипс можно получить сжатием окружности.
Формулы преобразования сжатия:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x'=x\cos\varphi - y\sin\varphi + a \\ y'=kx\sin\varphi + ky\cos\varphi + b \\ \end{array} \right.$$

Верно ли составлены формулы для сжатия? В этом случае так же нужно доказывать непрерывность обеих формул?

Заранее благодарен!

[mihaild]

PeterSam в сообщении #1277240 писал(а):

искомый гомеоморфизм осуществляют эти две функции (они являются линейными)

Строго говоря, это одна функция $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, просто так выраженная. И доказывать непрерывность нужно именно у нее - бывают разрывные функции, непрерывные по каждой координате.

PeterSam в сообщении #1277240 писал(а):

Можно ли непрерывность доказывать методами анализа?

Можно.

PeterSam в сообщении #1277240 писал(а):

Нужное отображение осуществляют формулы подобия в прямоугольной системе координат (в полном виде)

С учетом того, что треугольник задается $6$ числами (с точностью до некоторых перестановок), а в вашей формуле $3$ параметра - что-то не так.

[Brukvalub]

А ведь есть еще и аффинные преобразования, если вспомнить их свойства, то про треугольник все получится!