геометрия 8*

[Kornelij]

Известно, что 4-угольник $ABCD$ есть и вписанным (в некую окружность), и описанным (вокург некой окр.). Нам даны только точки $A, B, C$ этого 4-угольника. Как построить (циркуль, линейка) точку $D$?
Я построил окружность, описанную вокруг $\triangle ABC$, т.к. на ней будет находится искомая точка. Подскажите, пожалуйста, куда двигаться дальше? Все, что я знаю про вписанные/описанные окружности, как-то не очень помогает.

[atlakatl]

В описанном 4-ке суммы длин противолежащих сторон равны.
В вписанном противолежащие углы в сумме $\pi/2$
Трапеция?

[Kornelij]

atlakatl в сообщении #1276750 писал(а):

В описанном 4-ке суммы длин противолежащих сторон равны.
В вписанном противолежащие углы в сумме $\pi/2$
Трапеция?

Не $\pi/2$, а $\pi$. И где ж там трапеция?

[wrest]

atlakatl в сообщении #1276750 писал(а):

Трапеция?

Необязательно.

[mihiv]

Kornelij
Где находится центр вписанной окружности?

[pcyanide]

Вовсе не обязательно трапеция.

Точка D находится на окружности, проведенной через A, B и C. С этим никто не поспорит. Далее, для описанного четырехугольника $a+c = b+d$, откуда $d-c=a-b= \operatorname{const}$. Геометрическое место точек с фиксированной разницей расстояний — это гипербола. Вот и получается, что точка D лежит на пересечении окружности с гиперболой.

Нужна одна ветвь гиперболы, так как речь идет о разности с определенным знаком, а не абсолютной величине. При этом надо выбрать точку находящуюся по другую сторону от AC, чем B.

Только вот как построить гиперболу элементарно ?!

[Dmitriy40]

pcyanide в сообщении #1276853 писал(а):

Только вот как построить гиперболу элементарно ?!

Построение точек эллипса, гиперболы и параболы посредством циркуля и линейки.

[Kornelij]

Неужели проще никак? Ну, без гиперболы? Была мысль использовать тот факт, что окружности, вписанные в треугольники $ABC$ и $ACD$, имеют общую точку. Первую окружность строим легко, находим точку касания, но вот вторую окружность построить не получается.

[atlakatl]

Kornelij
Я ошибся с углом. Ваш "И где там трапеция?" не понял. Это трапеция. Она строится циркулем и линейкой.

[ctdr]

Kornelij в сообщении #1276916 писал(а):

Была мысль использовать тот факт, что окружности, вписанные в треугольники $ABC$ и $ACD$, имеют общую точку

А с этой идеей задача дальше решается нетрудно. Рассмотрите ГМТ центров вписанных в ACD окружностей при перемещении (по внешней окружности) точки D. Это не гипербола :)

Я тоже не понял atlakatl по поводу трапеции. В общем случае её конечно нет (она будет лишь при специальном расположении ABC).

(Построил в carmetal, именно с этой Вашей идеей. Как элегантно (просто и красиво) решить - не знаю, подождём умных).

Вот альтернативная задача: даны окружность и на ней 2 точки A, B (а не 3). Построить правильную трапецию (CD $\parallel$ AB) с тем же свойством. Не решил пока.

[wrest]

ctdr в сообщении #1277028 писал(а):

А с этой идеей задача дальше решается нетрудно.

Гениально! У меня получилось

[pcyanide]

wrest в сообщении #1277046 писал(а):

Была мысль использовать тот факт, что окружности, вписанные в треугольники $ABC$ и $ACD$, имеют общую точку

Действительно, точки касания совпадают, и вот почему.

Пусть $p_A$, $p_B$, $p_C$ — длины отрезков от вершин до точек касания вписанной окружности (для каждой вершины они одинаковы с двух сторон). Легко видеть, что $p_A + p_B + p_C = p$, где p - полупериметр треугольника. Заметив, что $p_B + p_C=a$, получаем: $p_A = p-a$, аналогично $p_B = p-b$ и $p_C = p-c$.

Обозначим общую диагональ через $x$. Имеем $p_{A}' = \dfrac{b+x-a}{2}$ и $p_{A}'' = \dfrac{c+x-d}{2}$
Равенство $p_{A}'$ и $p_{A}''$ вытекает из того, что $b-a=c-d$.

Жаль, что периметры ABC и ADC не совпадают, да и радиусы вписанных окружностей тоже разные.

[wrest]

mihiv в сообщении #1276772 писал(а):

Где находится центр вписанной окружности?

Прямая, на которой он находится, и которая строится из известных точек, понятна, но нужна же еще какая-то еще линия, пересекающая эту, и которую можно построить опять же из известных точек.

[pcyanide]

По сути дела, следует искать геометрическое место вершин треугольников, с двумя вершинами в заданных точках и точкой касания вписанной окружности в заданной точке. Однако, если рассуждать логически, это должна быть все та же гипербола.

Если не секрет, это задача из учебника геометрии, или что-то похитрее? Посмотреть бы в каком контексте она встречается.

[wrest]

pcyanide в сообщении #1277068 писал(а):

Если не секрет, это задача из учебника геометрии, или что-то похитрее?

Похоже на продвинутую часть ЕГЭ, на мой взгляд.

ctdr в сообщении #1277028 писал(а):

Рассмотрите ГМТ центров вписанных в ACD окружностей при перемещении (по внешней окружности) точки D. Это не гипербола :)

Ну вот остается доказать что это за линия и почему.

Я тут нашел еще одну интересную штучку :)
Оказывается, строить касательную к вписанной в треугольник $ACD$ окружности необязательно, точка $D$ находится и без этого. Достаточно построить только центр вписанной в треугольник $ACD$ окружности, что заметно сокращает всё построение.

Итого получается следующее.

Нам даны три точки $A,B,C$ общего положения. Будем искать точку $D$ такую, которая лежит по другую сторону от точки $B$ относительно прямой $AC$ и такую, что четырехугольник $ABCD$ является описанным и вписанным в окружность (т.е. бицентральным).

(Построение, без объяснений и доказательств.)

1. (0Ц+1Л+0П) Строим прямую $AC$ (пусть будет прямая $f$)
2. (2Ц+1Л+2П)Строим серединный перпендикуляр к отрезку $AC$ (пусть будет прямая $g$).
3. (2Ц+1Л+2П) Строим серединный перпендикуляр к точкам $A$ и $B$ (пусть будет прямая $h$)
4. (0Ц+0Л+1П) Отмечаем пересечение прямых $g$ и $h$ как точку $O$
5. (1Ц+0Л+0П) Строим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OA$ (пусть будет окружность $o$)
6. (0Ц+0Л+2П) Отмечаем точки пересечения прямой $g$ с окружностью $o$: по одну сторону с $B$ от $AC$ отмечаем точку $E$, по другую - точку $F$
7. (0Ц+1Л+0П) Проводим прямую через точки $B$ и $F$ (пусть будет прямая $i$). Замечаем что эта прямая оказалась биссектрисой угла $\angle ABC$.
8. (0Ц+0Л+2П) Отмечаем точки пересечения прямой $h$ с окружностью $o$: по одну сторону с $C$ от $AB$ отмечаем точку $G$, по другую - точку $H$
9. (0Ц+1Л+0П) Проводим прямую через точки $C$ и $H$ (пусть будет прямая $j$). Замечаем что эта прямая оказалась биссектрисой угла $\angle ACB$.
10. (0Ц+0Л+1П) Отмечаем точку пересечения прямых $i$ и $j$, пусть будет точка $I$. Замечаем, что точка $I$ - это центр вписанной в треугольник $\triangle ABC$ окружности.
11. (3Ц+1Л+3П) Опускаем из точки $I$ перпендикуляр на $AC$, пусть будет прямая $k$
12. (1Ц+0Л+0П) Строим окружность с центром в точке $E$ и радиусом $EA$ (пусть будет окружность $d$)
13. (0Ц+0Л+1П) Отмечаем точку пересечения окружности $d$ и прямой $k$ лежащую по другую сторону от точки $B$ относительно прямой $AC$, пусть будет точка $J$. Замечаем что точка $J$ -- центр окружности, вписанной в еще непостроенный треугольник $\triangle ACD$.
14. (0Ц+1Л+0П) Строим прямую, содержащую точки $E$ и $J$, пусть будет прямая $l$
15. (0Ц+0Л+1П) Отмечаем точку пересечения прямой $l$ и окружности $o$, не совпадающую с точкой $E$, пусть будет точка $D$. Замечаем, что прямая $l$ является биссектрисой угла $\angle ADC$.
16. Последовательно соединяем точки $A,B,C,D,A$ отрезками: искомый четырехугольник $ABCD$ построен.
Итого: построено 9 окружностей (9Ц - построений циркулем), 7 прямых (7Л - построений линейкой), отмечено 15 точек - пересечений линий (15П - построение только карандашом, за действие и не считается в общем-то).
Да, центр вписанной окружности находится на пересечении прямых $i$ и $l$ (если нужно построить и её).