Quadrature...

[sasa]

In the following $a,b $ , ($ 0 < a<b\le 1 $) ,and $ A , B, C $ are rational numbers. Suppose that equality

$ \; \; \; \; \int\limits_{-1}^{1}f(x)\; dx = A\left( f(-a)+f(a)\right ) + B\left( f(-b)+f(b)\right ) +Cf(0) $
is satisfied for any polynomial function of degree $\le m . $ Find the maximum possible value of $ m $ .

[Руст]

Пусть $P(x)=x(x^2-a^2)(x-b^2)$. Тогда интеграл от P(x)P(x) больше 0. Поэтому m<10. Легко построить формулы, когда они дают точное значение для любых полиномов степени не выше 9.

[maxal]

sasa писал(а):

[b]In the following $a,b $ , ($ 0 < a<b\le 1 $) ,and $ A , B, C $ are rational numbers.

Please clarify whether $a,b$ must be rational or not.

[Руст]

Да, забыл про рациональность.
Для нечётных полиномов и справа и слева нули, а значит формулы точны всегда. Из того, что для f(x)=1 формула точна получаем 2A+2B+C=2, из равенства для квадратичных получаем
2Aaa+2Bbb=2/3. Из четвёртой степени 2Aa^4+2Bb^4=2/5. Отсюда вычисляется, a и b. При этом для точности для степеней 6 го порядка получаем, что достаточно, чтобы a^2 и b^2 были рациональными. Этого удается добиться сделав дискриминант $(\frac {2B}{3A})^2-4(\frac{A}{9}-\frac 15)(B+\frac{B^2}{a})$ квадратом и удовлетворив соотношению
$Aa^6+Bb^6=1/7$. Решение существует. Сделать точным и для восьмой степени удается для единственной квадратурной формулы
$a=\sqrt{\frac{33-\sqrt{280}}{63}}, b=\sqrt{\frac{35+\sqrt{280}}{63}},A=\frac{322+13\sqrt{70}}{900},B=\frac{322-13\sqrt{70}}{900},C={128}{225}$ с m=9. Следовательно, для рациональных m=7.

[sasa]

maxal писал(а):

sasa писал(а):

[b]In the following $a,b $ , ($ 0 < a<b\le 1 $) ,and $ A , B, C $ are rational numbers.

Please clarify whether $a,b$ must be rational or not.

Yes, all $ a,b, A,B,C $ must be rational numbers.

[maxal]

Руст писал(а):

из равенства для квадратичных получаем
2Aaa+2Bbb=2/3. Из четвёртой степени 2Aa^4+2Bb^4=2/5. Отсюда вычисляется, a и b.

Как именно?
Это же 2 уравнения с 4-мя неизвестными.

Руст писал(а):

При этом для точности для степеней 6 го порядка получаем, что достаточно, чтобы a^2 и b^2 были рациональными. Этого удается добиться сделав дискриминант $(\frac {2B}{3A})^2-4(\frac{A}{9}-\frac 15)(B+\frac{B^2}{a})$

Дискриминант чего?

Кстати, автор похоже по-русски не разумеет, лучше писать по-англицки.

[незваный гость]

Judging by "Trig. neraventsva" and Uravnenija 2x**4 + ... theme titles, the author can read Russian (at least).

Anyway, is it reasobable to solve all the problems for Sasa? It does not look like she/he is going to put any efforts in it beyond typing it here. I found 6 already, and counting. The usual forum policy is to advise, to help to solve, not to solve for person. Insofar Sasa did not demonstrate any attempt to solve any of the posted problems. Will he/she learn anything from us solving all of them? Or should we try to explain what's going on in them? It looks like all of them from the same topic: from the properties deduce the only possible value for the parameter(s).

[maxal]

The system of equations
$A a^2 + B b^2=\frac 13$
$A a^4 + B b^4=\frac 15$
$A a^6 + B b^6=\frac 17$
implies
$15 - 21 b^2 - 21a^2 + 35 a^2 b^2 = 0$. This equation does not have rational solutions.

Therefore, the maximum possible m is $m=5$.

[незваный гость]

maxal писал(а):

$15 - 21 b^2 - 21a^2 + 35 a^2 b^2 = 0$. This equation does not have rational solutions.

Can you cexplain, why it cannot be solved in Q?

BTW, I've got the equation directly applying the formula to $f(x) = x^2(x^2-a^2)(x^2-b^2)$.

[maxal]

незванный гость писал(а):

:evil:

maxal писал(а):

$15 - 21 b^2 - 21a^2 + 35 a^2 b^2 = 0$. This equation does not have rational solutions.

Can you cexplain, why it cannot be solved in Q?

Turn it into an equation over integers, reduce by some power of 3 making at least one term not divisible by 3 (up to symmetry there are two cases), then consider the resulting equation modulo 3. You'll get a square equal a non-square modulo 3.

[незваный гость]

Thank you. I tried modulo 5 and 7.

[sasa]

незванный гость писал(а):

:evil:
Judging by "Trig. neraventsva" and Uravnenija 2x**4 + ... theme titles, the author can read Russian (at least).

Yes , I read Russian/Sasa

[Руст]

1. Пропустил дискриминант "квадрат рационального числа".
2. В условии не сказано, что a и b рациональные. Сказано только о рациональности чисел A,B,C. Соответственно речь идёт о выражении a и b через A,B,C (какие получатся).

[maxal]

Руст писал(а):

1. Пропустил дискриминант "квадрат рационального числа".

И все равно непонятно о дискриминанте ЧЕГО идет речь.

Руст писал(а):

2. В условии не сказано, что a и b рациональные. Сказано только о рациональности чисел A,B,C. Соответственно речь идёт о выражении a и b через A,B,C (какие получатся).

Специально же уточнили:

sasa писал(а):

maxal писал(а):

Please clarify whether $a,b$ must be rational or not.

Yes, all $ a,b, A,B,C $ must be rational numbers.

[Руст]

Тогда m=5 и ничего добавить.