Polynom degree 2...[1]

[sasa]

If $ f(x)=ax^2+bx+c \; ,\; a,b,c \in {\mathbb R} , $ verifies $ \left|f(2)| > 20 $ , prove that there exists
a rational point x_0 \; ,\; x_0 \in [0,1] \; , \; $ such that $ \left|f(x_0)\right|> 1 $ .

[Руст]

f(2)=2a+2f(1)-f(0).
Если f(0) или f(1) по модулю больше 1 ничего доказывать. Пусть |f(1)|<=1,|f(0)|<=1, т.е.
|с|<=1, |a+b+c|<=1.
Достаточно рассмотреть случай a>0 (иначе можно изменить знаки всех коэффициентов и свести к этому, при a=0 f(2) по модулю не превосходит 3).
1.Если b>=0 или b<=-2a, то a<=2 и f(2)<=7.
2. Иначе получаем дополнительное неравенство b^2<=4a(1+c). При этом максимальное значение f(2) достигается когда f(x)=8(x-0.5)^2-1. При этом f(2)=17.
Таким образом условие можно уточнить заменив |f(2)|>17. Условие о рациональности абсолютно ни к чему, когда неравенства строгие всегда найдётся достаточно близое рациональное число удовлетворяющее строгому неравенству.