2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Вид частного решения дифференфиального уранвнения
Сообщение17.12.2017, 20:51 


17/12/16
76
Нужно определить вид частного решения для $-x-3$
${y}^{6}-18{y}^{4}+81y''={e}^{3x}-5x{e}^{-3x}+\cos3x-x-3$
Общее
${\lambda}^{4}({\lambda}^{2}-9)-9{\lambda}^{2}({\lambda}^{2}-9)=0$
$({\lambda}^{4}-9{\lambda}^{2})({\lambda}^{2}-9)=0$
Два корня $= 0$, два $= 3$, два $=-3$.

В данном случае для нулевых корня совпадают со степенью $x$ при 3 (то есть ${x}^{0}$)
И нужно домножить $Ax+B$ на $x^2$.
Так ли это?
И главный вопрос: есть ли какие-то способы быстро и просто определять вид частного решения? Или все время сверяться с таблицей на 3 страницы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вид частного решения дифференфиального уранвнения
Сообщение17.12.2017, 20:57 
Модератор
Аватара пользователя


20/03/14
10803
Производная порядка $n$ пишется так $y^{(n)}$.
Правая часть уравнения наверняка не так выглядит.
timas-cs в сообщении #1275794 писал(а):
Или все время сверяться с таблицей на 3 страницы?

С какой таблицей?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вид частного решения дифференфиального уранвнения
Сообщение17.12.2017, 20:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17303
Москва
timas-cs в сообщении #1275794 писал(а):
Или все время сверяться с таблицей на 3 страницы?
Что там такое можно на трёх страницах написать? По-моему, на одной прекрасно помещается. По существу, информации там очень мало: для правых частей такого-то типа вид частного решения совпадает с видом правой части, возможно, чуть подправленным и домноженным на некоторую степень независимой переменной.

timas-cs в сообщении #1275794 писал(а):
есть ли какие-то способы быстро и просто определять вид частного решения?
Запомнить таблицу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вид частного решения дифференфиального уранвнения
Сообщение17.12.2017, 21:25 


17/12/16
76
Someone
Понял. Но там не было такого момента: корень равен нулю и одно из слагаемых справа - цифра. Хотел уточнить этот момент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вид частного решения дифференфиального уранвнения
Сообщение17.12.2017, 21:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17303
Москва
timas-cs в сообщении #1275811 писал(а):
корень равен нулю и одно из слагаемых справа - цифра.
"Цифра" (правильный термин — "число") — это многочлен нулевой степени. Цифры — это значки, используемые для записи чисел (не считая унарного минуса, который может указывать знак числа).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вид частного решения дифференфиального уранвнения
Сообщение19.12.2017, 00:42 


02/10/15
41
Таблицу можно и не запоминать.

Это так называемые дифференциальные уравнения со специальной правой частью. В правой части у них - квазиполином (или их сумма). Квазиполином имеет следующий вид:
$$f(x) = e^{\alpha x}(A(x) \cdot \cos(\beta x) + B(x) \cdot \sin (\beta x)).$$
$A(x)$, $B(x)$ здесь - полиномы.

Если правая часть уравнения имеет такой вид, то и частное решение будет иметь почти такой же вид, а именно
$$y_p = e^{\alpha x}x^r(P(x) \cdot \cos(\beta x) + Q(x) \cdot \sin (\beta x)).$$

Здесь $\alpha$ и $\beta$- те же самые числа, что и в $f(x)$. $P(x)$ и $Q(x)$ - полинмы с неопределёнными коэффициентами, имеющие степень, равную максимальной степени полиномов $A(x)$ и $B(x)$. Например, если $A(x) = x^2$, $B(x) = x^3$, то $P(x)$ и $Q(x)$ будут иметь степень 3.

Число $r$ равно нулю, если число $\alpha + i \beta$ не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, которое вы решали в самом начале. То есть в вашем случае если $\alpha + i \beta$ не равно $0$, $3$ или $-3$, то $r$ будет равно нулю. Если же совпадение есть, то число $r$ равно числу повторений (кратности) этого корня. Например, если $\alpha + i \beta = 0$, то за $r$ вы берёте $2$, потмоу что $0$ у вас повторяется два раза.

Фактически нужно всего лишь подобрать числа и полиномы в записи для $y_p$, чтобы она совпала с данным вам в уравнении $f(x)$.

Пример. Рассмотрим ваше уранвение в "укороченном" виде. пусть, например, это будет уравнение
$$y^{(6)} - 18y^{(4)} + 81y'' = -5xe^{-3x}$$

Правая часть, очевидно, является квазиполиномом:
$$f(x) = e^{\alpha x}(A(x) \cdot \cos(\beta x) + B(x) \cdot \sin (\beta x)).$$

Попробуем подобрать коэффициенты. очевидно, что $\alpha = -3$. Синусов и косинусов у нас нет. Как можно этого добиться, выбирая $\beta$? Например, при $\beta = 0$ у нас
$$\cos (\beta x) = \cos (0 \cdot x) = 1,$$
а
$$\sin (\beta x) = \sin (0 \cdot x) = 0.$$

То есть, если мы подставим теперь $\alpha = -3$ и $\beta = 0$ в выражение $f(x)$, то получим
$$f(x) = e^{-3x}(A(x) \cdot 1 + B(x) \cdot 0) = e^{-3x} \cdot A(x).$$

Чему должен равняться полином $A(x)$, чтобы получилась данная нам в уравнении правая часть? Очевидно, что $A(x) = -5x$. А чему должен равняться $B(x)$? В принципе чему угодно. Для простоты мы можем положить, что $B(x) = 0$.

Таким образом, мы получили следующее:
$$\alpha = -3, \beta = 0, A(x) = -5x, B(x) = 0.$$

Мы знаем, что частное решение должно иметь следующий вид:
$$y_p = e^{\alpha x}x^r(P(x) \cdot \cos(\beta x) + Q(x) \cdot \sin (\beta x)).$$

Мы знаем $\alpha$ и $\beta$, но не знаем $P(x)$, $Q(x)$ и $r$. Начнём с $r$. Составим число $\alpha + i \beta = -3 + i \cdot 0 = -3$. Был ли у нас такой корень характеристического уравнения? Был. Какова была его кратность? Два. Значит, $r = 2$.

Осталось определиться с $P(x)$ и $Q(x)$. Для этого посмотрим на полиномы $A(x)$ и $B(x)$. Степень полинома $A(x)$ равна 1 (так как $x$ в первой степени). Очевидно, что степень $A(x)$ больше степени $B(x)$ (вообще, считается, что ноль - эт ополином в степени минус бесконечность).

Таким образом, если старшая степень равна $1$, то $P(x)$ и $Q(x)$ будут полиномами с неопределёнными коэффициентами степени 1, а именно
$$P(x) = p_0 + p_1x, Q(x) = q_0 + q_1x.$$
(Если нужна большая степень, то добавляем слагаемые $p_2x^2$, $p_3x^3$ и так далее).

В данном случае $Q(x)$ в записи частного решения участвовать не будет, так как умножается на $\sin (\beta x) = \sin (0 \cdot x) = 0$. Частное решение, таким образом, будет иметь следующий вид:

$$y_p =  = e^{-3 x}x^2(p_0 + p_1 x).$$

Подставив его в данное уравнение, можно определить, чему равны $p_0$ и $p_1$.

По такой же схеме можно разобрать и все остальные слагаемые в правой части. Причём можно решить рассматриваемое уравнение "по кусочкам" - то есть сначала с первым слагаемым в правой части, потом со вторым, потом с третьим и так далее, сложить все полученные решения и окажется, что эта сумма будет частным решение всего исходного уравнения.

Если потренироваться в решении 5-10 уравнений по такой схеме, Вы их будете щёлкать как орешки. И фактически всё, что нужно знать, - это две формулы для $f(x)$ и $y_p$ (которые почти совпадают).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вид частного решения дифференфиального уранвнения
Сообщение21.12.2017, 09:17 


17/12/16
76
D'Amir
Спасибо большое за подробное объяснение. Все стало на много понятенее.

Начал прорешивать номера из задачника и столкнулся с проблемой. Ответ не сходится с ответом из решебника. Уже 10 все перепроверил.


$\lambda_{1}=4+\sqrt{i}$
$\lambda_{2}=4-\sqrt{i}$
Правая часть вида ${e}^{4x}x^2+{e}^{4x}3x \sin x$
С первым слагаемым понятно.
Для второго частное решение будет в виде
$y_p = e^{\alpha x}x^r(P(x) \cdot \cos(\beta x) + Q(x) \cdot \sin (\beta x)).$
В данном случае $\alpha=4$ ,$r=1$(совпадает с одним корнем)
Максимальная степень полиномом $= 1$
Итого, ответ : $y_p = e^{4 x}(Ex^2+Fx+J) + e^{4 x}x((Ax+B) \cdot \cos( x) + (Cx+D) \cdot \sin ( x))$
Но там ответ для первого слагаемого совпадает, а для второго - нет. Там просто $e^{4 x}(\cos x + \sin x)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вид частного решения дифференфиального уранвнения
Сообщение21.12.2017, 13:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11970
Казань
timas-cs в сообщении #1277051 писал(а):
$\lambda_{1}=4+\sqrt{i}$
$\lambda_{2}=4-\sqrt{i}$

Вы уверены, что здесь правильно записано? Поправьте!

 Профиль  
                  
 
 Re: Вид частного решения дифференфиального уранвнения
Сообщение21.12.2017, 13:50 


17/12/16
76
provincialka
Да уверен. Это не для уравнения из первого поста, а для уравнения из учебника. Не стал полностью его переписывать, начал с момента нахождения корней хар-го уравнения

UPD ошибка все-таки есть. i не под корнем

 Профиль  
                  
 
 Re: Вид частного решения дифференфиального уранвнения
Сообщение21.12.2017, 14:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11970
Казань
Просто корень из $i$ -- это что-то непонятное (в данном контексте). Он имеет два значения, соответственно, у вас получается 4 значения для лямбда.

-- 21.12.2017, 14:23 --

А! Заметили! А что под корнем? Ничего?

-- 21.12.2017, 14:25 --

В общем, довольно трудно ответить на вопрос "что неправильно", когда не знаешь ни задачи, ни хода решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вид частного решения дифференфиального уранвнения
Сообщение21.12.2017, 18:22 


17/12/16
76
provincialka

$y''-8y'+17y={e}^{4x}x^2+{e}^{4x}3x \sin x$

Корни характеристического
$\lambda_{1}=4+i$
$\lambda_{2}=4-i$

Для первого слагаемого понял, как искать.
Для второго частное решение будет в виде
$y_p = e^{\alpha x}x^r(P(x) \cdot \cos(\beta x) + Q(x) \cdot \sin (\beta x)).$
$\alpha=4$ ,$r=1$(совпадает с одним корнем)
Максимальная степень полиномом $= 1$

Ответ
$y_p = e^{4 x}(Ax^2+Bx+C) + e^{4 x}x((Dx+E) \cdot \cos( x) + (Fx+J) \cdot \sin ( x))$

Но в решебнике ответ
$e^{4 x}(\cos x + \sin x)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вид частного решения дифференфиального уранвнения
Сообщение21.12.2017, 18:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17303
Москва
А там каких-нибудь начальных условий в условии задачи нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вид частного решения дифференфиального уранвнения
Сообщение21.12.2017, 18:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11970
Казань
Someone в сообщении #1277308 писал(а):
А там каких-нибудь начальных условий в условии задачи нет?

Даже при начальных условиях множитель $x$ перед скобкой никуда не пропадет...

А! Ну, разве что всё это слагаемое равно 0

 Профиль  
                  
 
 Re: Вид частного решения дифференфиального уранвнения
Сообщение21.12.2017, 18:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17303
Москва
provincialka в сообщении #1277311 писал(а):
Даже при начальных условиях множитель $x$ перед скобкой никуда не пропадет...
Ну да, я всё-таки ерунду написал.

timas-cs в сообщении #1277294 писал(а):
Но в решебнике ответ
$e^{4 x}(\cos x + \sin x)$
Если подставить этот ответ в уравнение, то равенства не получится. Поскольку множители $x^2$ и $x$ не появятся. Так что неправильный ответ в решебнике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вид частного решения дифференфиального уранвнения
Сообщение21.12.2017, 19:08 
Заслуженный участник


23/07/08
8450
Харьков
timas-cs
Ответ в решебнике неправильный.
Но и Ваш ответ — не ответ. Частное решение действительно имеет такой вид, как Вы написали. Но это не значит, что это выражение будет решением при любых значениях констант $A, B, C, ...$. Эти константы — не произвольные константы. Их ещё надо подобрать так, чтобы Ваше выражение удовлетворяло уравнению.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group