Мы едем, едем, едем

[dovlato]

Рассматривается движение точечного тела. За некоторое время интеграл от модуля проекции его вектора скорости на ось абсцисс
достиг значения $X$. Аналогично для двух других осей эти интегралы за то же время оказались равными $Y$, $Z$.
Каков минимум и максимум возможного пройденного пути?

[miflin]

Я, наверное, чего-то не понял...
Минимум - $\sqrt{X^2+Y^2+Z^2}$ -
движение по прямой в одном направлении.
Максимум - не ограничен.

-- 16.12.2017, 20:04 --

miflin в сообщении #1275478 писал(а):

Я, наверное, чего-то не понял...

Да, ответил впопыхах.

[dovlato]

Я-то как раз сначала понял (скорее, почувствовал), чему равен максимум. Ведь $X,Y,Z$ - заданы.
А вот в одном направлении - это избыточное.

[Dmitriy40]

Мне кажется путь может быть любым от $\sqrt{X^2+Y^2+Z^2}$ до $(X+Y+Z)$ (при этом $X,Y,Z \ge 0$).

[miflin]

$ S_{max}=X+Y+Z$ в том случае, если участки траектории параллельны координатным осям. Вроде так.

[dovlato]

Да. И, понятно, таких существует бесконечно много.

[svv]

Докажем нижнюю оценку.
Пусть $a, b, c$ — направляющие косинусы вектора скорости, т.е. такие числа, что $v_x=av, v_y=bv, v_z=cv, a^2+b^2+c^2=1$.
$X=\int\limits_0^T |v_x|dt=\int\limits_0^T |a|vdt=\int\limits_0^S |a|ds$
Используем интегральное неравенство Коши-Буняковского:
$X^2=\left(\int\limits_0^S 1|a|ds\right)^2\leqslant \int\limits_0^S 1^2 ds \int\limits_0^S |a|^2 ds =S\int\limits_0^S a^2 ds$
Аналогично для $Y^2$ и $Z^2$.
Тогда
$X^2+Y^2+Z^2\leqslant S\int\limits_0^S (a^2+b^2+c^2) ds=S^2$

[dovlato]

А я вариации считал, условный минимум находил)).
Кстати, можно ещё вот такую формулировку предложить. Находим точку - проекцию тела на, например, горизонтальную плоскость.
А вторая точка - его проекция на вертикальную ось. Допустим, пути, пройденные этими спроецированными точками, равны $L_{xy}$ и $L_z$.
Вопрос остаётся тем же: границы для возможного пути, пройденного телом.

[miflin]

Вслед ушедшему поезду.
Как-то так получилось, что я, невнимательно прочитав условие, принял $X, Y, Z$ за конечные координаты точки
и написал глупость во втором посте темы.
Потом, когда рассмотрел повнимательнее, пришел к такому же выводу, что и Dmitriy40:

Dmitriy40 в сообщении #1275516 писал(а):

Мне кажется путь может быть любым от $\sqrt{X^2+Y^2+Z^2}$ до $(X+Y+Z)$ (при этом $X,Y,Z \ge 0$).

К этому выводу я пришел, решая задачу "на коленке", т.е. из некоторых визуальных геометрических представлений.

А именно.

Рассмотрим путь из одной вершины параллелепипеда (с ребрами $X,Y,Z$) к противоположной.
Кратчайший путь - по прямой (диагонали параллелепипеда) - $S_{min}=\sqrt{X^2+Y^2+Z^2}$.
Наибольший путь - по ребрам параллелепипеда - $S_{max}=X+Y+Z$.

При этом я понимал, что строгое решение задачи - аналитическое.
В связи с этим хотелось бы узнать о моментах в "параллелепипедном решении", которые могут "сбить с пути истинного".

[svv]

Допустим, есть муха, которую согнали с места, она кружила по комнате минуту и села на то же место. Интегралы $X, Y, Z$, тем не менее, ненулевые. Берём параллелепипед со сторонами $X, Y, Z$ — он будет уже размером с дом. Каким будет кратчайший путь между противоположными вершинами в этом параллелепипеде — понятно. А вот какое отношение это имеет к исходному движению мухи — надо объяснить хоть в двух словах. Типа: рассмотрим другое движение мухи, которое получается заменой всех проекций скоростей их модулями. Такая замена не повлияет ни на $X, Y, Z$, ни на $S$. Но при таком движении, если муха стартовала из точки $(0,0,0)$, она в конце окажется в точке $(X, Y, Z)$.

[dovlato]

Красивая идея - с параллелепипедом, в совокупности с модулями мгновенных скоростей.
А почему молчание по поводу другой постановки, когда известны два пути - по горизонтальной плоскости, и по вертикальной оси?

[svv]

dovlato в сообщении #1276061 писал(а):

А почему молчание по поводу другой постановки, когда известны два пути - по горизонтальной плоскости, и по вертикальной оси?

Она сводится к исходной задаче в двумерном варианте.

Возьмём второе тело. Величины, которые относятся к нему, будем помечать тильдой. Считаем, что оба тела одновременно начинают своё движение из точки $(0,0,0).$ Пусть в каждый момент проекции скоростей второго тела так связаны с проекциями скоростей первого:
$\tilde v_x=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$
$\tilde v_y=0$
$\tilde v_z=|v_z|$
То есть второе тело движется в плоскости $xOz$.

Тогда
$\begin{array}{l}\tilde X=\int\limits_0^T |\tilde v_x|dt=\int\limits_0^T \sqrt{v_x^2+v_y^2}\,dt = L_{xy}\\\tilde Z=\int\limits_0^T |\tilde v_z| dt=\int\limits_0^T |v_z| dt=L_z\\\tilde S=\int\limits_0^T \sqrt{\tilde v_x^2+\tilde v_z^2}\,dt=\int\limits_0^T \sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2} \,dt=S\end{array}$

Значит, для каждого движения первого тела с некоторыми $L_{xy}, L_z, S$ существует такое движение второго тела, что $\tilde X=L_{xy}, \tilde Z=L_z, \tilde S=S.$ Верно и обратное (очевидно: заставим первое тело двигаться как второе). Поэтому при заданных $L_{xy}, L_z$ для первого тела получаем тот же максимальный и минимальный путь, что и при заданных $\tilde X=L_{xy}, \tilde Z=L_z$ для второго тела.

[dovlato]

Я тоже так думаю. Хотя до строгого обоснования не дошёл.
Думаю, эта задача естественно обобщается на (евклидовы) пространства произвольной размерности.
А именно, пусть такое пространство разбито на взаимно ортогональные подпространства. И нам известны пути $L_1, L_2, ...,L_m$,
пройденные спроецированными точками в них. Тогда полный пройденный путь $L$ заключён в пределах

$$\sqrt\left{L_1^2+...+L_m^2\right}\le L\le L_1+...+L_m$$