Математизированность наук

[eccc]

Почему математикой пользуются в физике в большей степени, чем в любых других науках?

Может быть, я просто чего-то не знаю или недопонимаю, но вижу это как-то так: физики с помощью математики строят свои теории, выдвигают предположения, которые только потом проверяют. А вот например в химии, а уж тем более в биологии, такого нет. Учёные до сих пор в большей мере основываются на эмпирических данных.

Почему там невозможно пользование математикой в той же степени, как в физике? (Про использование математики в биологии я не слышала ничего, кроме применения матстатистики). Оттого, что физика работает с самыми фундаментальными основами нашего мира, а в химии, тем более в биологии, используются такие громадные совокупности начальных условий, что сложно подобрать некое уравнение, которое именно описывало бы процесс?

Существование каких-либо математических моделей, именно описывающих процессы, а не выполняющихся с какой-то долей вероятности, в принципе возможно, но слишком сложно для человечества на данном этапе или же абсолютно невозможно? Почему?

[Pphantom]

eccc в сообщении #1272775 писал(а):

Может быть, я просто чего-то не знаю или недопонимаю, но вижу это как-то так: физики с помощью математики строят свои теории, выдвигают предположения, которые только потом проверяют. А вот например в химии, а уж тем более в биологии, такого нет. Учёные до сих пор в большей мере основываются на эмпирических данных.

По-видимому, Вы действительно что-то не знаете.

И в физике есть заметная доля эмпирики, и в химии с биологией есть математические модели. Разница не качественная, а лишь количественная.

eccc в сообщении #1272775 писал(а):

Оттого, что физика работает с самыми фундаментальными основами нашего мира, а в химии, тем более в биологии, используются такие громадные совокупности начальных условий, что сложно подобрать некое уравнение, которое именно описывало бы процесс?

Пожалуй, да. Объекты проще, как следствие, модели тоже проще. Впрочем, современная химия по этому критерию уже очень мало отличается от современной физики, а биология быстро их догоняет.

[fred1996]

eccc
А вы сравните объекты, которые изучают физики, химики, биологи, медики.
Физические объекты в каком-то смысле проще. Хмические соединения еще до недавнего времени можно было описать на качественном уровне. Я уж не говорю про медицину и биологию. Одно дело промоделировать поведение простых физических объектов. Но уже промоделировать совместное поведение нескольких объектов довольно сложно. Можно промоднлировать поведение множества однотипных объектов. Этим занимается статфизика. И это уже совсем другой матаппарат. Сейчас с помощью мощных вычислительных средств, на основе тех же физических моделей квантовой физики можно существенно помочь развитию химии. Но этих средств все равно недостаточно, чтобы промоделировать поведение живых организмов. То есть сделать мостик между химией-физикой и биологией. Тупое наращивание вычислительных мощностей пока мало дает. При том что сама природа ведь не пользуется вычислительной техникой. Она работает в аналоговом режиме. Может быть если бы удалось промоделировать эволюцию живых оргпнизмов, было бы проще понять, какие модели использовать для описания биологических процессов. Но чтобы решать задачи, нужно понимать, что происходит. А человек в смысле понимания медицины и биологии все еще находится на достаточно примитивном уровне понимания. Математика - это не госопдь бог. Это всего лишь инструмент. Которым надо уметь пользоваться. Возмите любого даже весьма продвинутого математика, и дайте ему достаточно просиую задачу по физике или химии. Он ее не решит без соответствующего опыта. А в биологии такого опыта ни у кого практически нет. Ну а если пойти еще дальше - в социальные науки. Там вообще туши свет. Там математика дает весьма расплывчатые рекомендации.

[Korvin]

Медицина давно уже вся доказательная, что позволяет апологету этой медицины Мясникову, получившему врачебное образование в США, жонглировать статистикой использования лекарств с недоказанной эффективностью и самим списком болезней, одними классификаторами признаваемыми, другими нет. В принципе это проблема кластеризации.
Вот диабет 3 типа - то ли есть, то ли нет, да и признанные диабеты 1 и 2 типа названы общим названием по недоразумению - это наверняка далеко разнесенные заболевания, общее только проявление, что можно померить - сахар в крови.
И методы должны быть другими. Я задавал на форуме вопрос по применению проп.-инт. регулятора в применении к человеку, регулированию его функций (проп. регул. прекрасно работает, интуиция подсказывает что при подключении инт. составляющей заработает еще лучше). Так и вышло, вопрос в соотношении между этими 2 компонентами, который решен и в теории ТАУ и на практике применительно к техническим системам АР. Но как быть с человеком? Дельта-функцию на него не подашь, где нули непонятно, и вышло по как говорят на одном иностр. языке "по правилу кулака - Faustregel" - от установленной практически проп. составляющей отняли половину (Лаплас бы одобрил) и перебросили на интегральную, по результатам статистики. Потом проверили путем заполнения клеток матрицы 3 х 3, т.е. каждый параметр имел 3 значения, и из 9 клеток выбрана давшая лучшие результаты.
Вроде и математика применена (хотя-бы для анализа), и в то же время чисто эмпирика.

[atlakatl]

Биология бывает и молекулярной, и физиологией млекопитающих. Во втором случае математизирование очень ограниченно.
А физика, скажем, ДВС или ГЭС становится технической механикой и электротехникой.
Впрочем, и биология на определённом этапе перерождается в технологию машинного доения. Но в физике эти рамки уже биологических.
Так что вопрос чисто в систематике и терминологии.

[Pulseofmalstrem]

Тут возникает интересный вопрос: а может ли произойти так, что при увеличении размера систем математика теряет свою описательную силу? Интересно, можно ли сформулировать теорему, которая бы показывала что с ростом сложности (надо еще понять как строго определить это понятие) системы количество содержательных структур на ней снижается. То есть возможно ли такое стечение событий, что трудности в математическом описании сложных биологических и химических систем возникают не из-за недостаточности наших знаний и вычислительных мощностей , а по фундаментальной причине?

Просто интуитивно я не могу представить себе столь же математически красивую и абстрактно притягательную теорию как КТП в области химии или тем более биологии.

[grizzly]

Pulseofmalstrem
Ваш вопрос мне был бы интересен в несколько другой формулировке. Допустим (я думаю, такое допущение правдоподобно -- я заимствую его у С.Лема), существуют идеи, которые не могут быть восприняты отдельно взятым человеком или даже всем человечеством. (Лем как раз рассматривал вопрос, совпадает ли множество тех и других идей или нет -- но нас этот вопрос сейчас не интересует.)

Я думаю, что человечество столкнётся с этим барьером в математике раньше, чем в других науках (и, возможно, преодолеет его за счёт ИИ / компьютеризации мозга / т.п., но это тоже за скобками). Другими словами, я не думаю, что упомянутые фундаментальные причины на других науках отразятся раньше.

Pulseofmalstrem в сообщении #1275587 писал(а):

я не могу представить себе столь же математически красивую и абстрактно притягательную теорию как КТП в области химии или тем более биологии.

Какой-нибудь Ньютон даже теорию КТП вряд ли мог себе представить, хотя воображалка у него была уж точно не хуже, чем наша с Вами.

[Pulseofmalstrem]

grizzly
В мире математики действует очень простое правило, которое можно выразить с помощью равновесия между двумя стремлениями любого математика:
1) Разумеется всегда хочется говорить максимально общо, то есть рассматривать как можно более широкие классы объектов и формулировать самые общие теоремы о них.
2) С другой стороны чем более общие объекты и конструкции мы используем - тем меньше информации нам об этих объектах доступно, то есть тем меньше содержательных утверждений о них можно высказать.

Самые лучшие теоремы получаются там, где эти 2 противоположных стремления: смотреть как можно шире или иметь как можно больше информации об объекте исследования приходят в равновесие. Собственно все, что выше этой точки равновесия чрезвычайно трудно доказывать, так как при большой общности сложно ухватить идею, с другой стороны все что ниже этой точки не особо интересно.

[Anton_Peplov]

Pulseofmalstrem в сообщении #1275587 писал(а):

Интересно, можно ли сформулировать теорему, которая бы показывала что с ростом сложности (надо еще понять как строго определить это понятие) системы количество содержательных структур на ней снижается.

Есть такое понятие - колмогоровская сложность. Если мы зафиксируем программу, которая восстанавливает двоичные слова по их описаниям, то сложность слова - это минимальная длина его описания.

(Подробно)

Пусть $\Sigma$ – множество всех двоичных слов. Определенный на некотором подмножестве $\Sigma$ алгоритм $D$, преобразующий двоичное слово в другое двоичное слово, назовем декомпрессором. Это название связано с тем, что на практике приходится иметь дело с алгоритмами распаковки файла из архива. Если $D(y) = x$, $y$ называется описанием $x$ при данном $D$. То есть декомпрессор восстанавливает слово по его описанию.
Зафиксируем некоторый декомпрессор $D$. Рассмотрим какое-нибудь $x$. Вообще говоря, у него может быть больше одного описания (иначе говоря, прообраза), т.к. $D(y)$ – не обязательно инъекция. У него может и не быть никакого описания, если $x$ не входит в область значения $D(y)$.

Построим функцию $K_D(x)$ такую, что:
- если $x$ имеет описания, $K_D(x)$ равна длине его самого короткого описания
- если $x$ не имеет описаний, $K_D(x)$ равна $+\infty$.

Так определенная функция $K_D(x)$ называется простой колмогоровской сложностью слова $x$ относительно декомпрессора $D$.

Скажем, что декомпрессор $D_1$ не хуже декомпрессора $D_2$, если существует такая константа $c$, что для любого $x$
$K_{D1} (x) \leq K_{D1}(x) + c$

Далее доказывается, что есть декомпрессор, который не хуже любого другого. Он называется оптимальным декомпрессором. Тривиально, что он перечисляет всё множество двоичных слов, то есть для любого слова $x$ найдётся его описание $y$, так как оптимальный декомпрессор по определению не хуже тождественного.

Простой колмогоровской сложностью $K(x)$ слова $x$ называют его простую колмогоровскую сложность относительно какого-нибудь оптимального декомпрессора и говорят, что она определена с точностью до аддитивной константы. Как отмечают в своём учебнике Шень и компания

Цитата:

Можно надеяться, что при естественном выборе языков эта константа будет измеряться тысячами или даже сотнями. Тем самым, если мы говорим о сложностях порядка сотен тысяч (скажем, для текста романа) или миллионов (скажем, для ДНК), то уже не так важно, какой именно язык программирования мы выбрали

Например, слово из $10^{10}$ сплошных единиц будет иметь очень маленькую сложность, так как его можно описать короткой фразой: "единица, повторённая $10^{10}$ раз". Максимальную сложность будут иметь слова, которые невозможно описать иначе, чем просто повторив их побитно. Они "не поддаются сокращению".

Однако такое понимание сложности не исчерпывает нашего интуитивного представления. Если судить по нему, максимально сложным явлением является какой-нибудь воздушный шарик с газом, молекулы которого беспорядочно бьются в стенки. Между тем интуитивно воздушный шарик с газом чрезвычайно прост по сравнению с живой клеткой.

На эту трудность в формализации сложности указывал ещё Пригожин, и насколько я в курсе, с его времени дело не слишком сдвинулось. Впрочем, я ни с какого боку не специалист.

[Vince Diesel]

А.Н. Колмогоров в статье "Математика" писал(а):

Принципиально область применения математического метода не ограничена: все виды движения материи могут изучаться математически. Однако роль и значение математического метода в различных случаях различны. Никакая определённая математическая схема не исчерпывает всей конкретности действительных явлений, поэтому процесс познания конкретного протекает всегда в борьбе двух тенденций; с одной стороны, выделения формы изучаемых явлений и логического анализа этой формы, с другой стороны, вскрытия моментов, не укладывающихся в установленные формы, и перехода к рассмотрению новых форм, более гибких и полнее охватывающих явления. Если же трудности изучения какого-либо круга явлений состоят в осуществлении второй тенденции, если каждый новый шаг исследования связан с привлечением к рассмотрению качественно новых сторон явлений, то математический метод отступает на задний план; в этом случае диалектический анализ всей конкретности явления может быть лишь затемнён математической схематизацией. Если, наоборот, сравнительно простые и устойчивые основные формы изучаемых явлений охватывают эти явления с большой точностью и полнотой, но зато уже в пределах этих зафиксированных форм возникают достаточно трудные и сложные проблемы, требующие специального математического исследования, в частности создания специальной символической записи и специального алгоритма для своего решения, то мы попадаем в сферу господства математического метода.

Далее в статье этот тезис подробно раскрывается.