2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 факт (возможно ложный): простое число вида p=4k+1
Сообщение15.05.2015, 08:26 


24/12/13
218
Дано простое число $p$ вида $4k+1$ и натуральное число $a$. Известно, что $(a,p)=1$. Докажите, что существует натуральное число $n$ такое что $(n,a)=1$ и $p|n^2+a^2$ .

 Профиль  
                  
 
 Re: факт (возможно ложный): простое число вида p=4k+1
Сообщение15.05.2015, 08:35 
Заслуженный участник


08/04/08
8458
rightways в сообщении #1015350 писал(а):
$p|n^2+a^2$ .
$n^2+a^2\equiv 0 \pmod p \Rightarrow n\equiv \pm ai\pmod p$, где $i\equiv\sqrt{-1}\pmod p$ существует, поскольку $p\equiv 1\pmod 4$.

rightways в сообщении #1015350 писал(а):
Известно, что $(a,p)=1$.
Это условие излишне.

Непонятно, что эта задача делает в олимпиадном разделе :|

 Профиль  
                  
 
 Re: факт (возможно ложный): простое число вида p=4k+1
Сообщение15.05.2015, 08:51 


24/12/13
218
к сожалению не понимаю числа Гаусса.

 Профиль  
                  
 
 Re: факт (возможно ложный): простое число вида p=4k+1
Сообщение15.05.2015, 09:15 
Заслуженный участник


08/04/08
8458
rightways в сообщении #1015356 писал(а):
к сожалению не понимаю числа Гаусса.
Не понимаю вопрос, не могу ответить.
Почему разрешимо сравнение $t^2\equiv -1\pmod p$ для $p=4k+1$ знаете? Этого вполне достаточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: факт (возможно ложный): простое число вида p=4k+1
Сообщение15.05.2015, 09:39 


24/12/13
218
да, но есть условие $(a,n)=1$ оно мне мешает.

 Профиль  
                  
 
 Re: факт (возможно ложный): простое число вида p=4k+1
Сообщение15.05.2015, 11:20 
Заслуженный участник


08/04/08
8458
rightways в сообщении #1015366 писал(а):
да, но есть условие $(a,n)=1$ оно мне мешает.
Пусть дан класс вычетов $r \pmod p$ и число $a$. Как найти $n:n\equiv r \pmod p$ такое, что $\gcd(a,n)=1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: факт (возможно ложный): простое число вида p=4k+1
Сообщение15.05.2015, 11:31 


21/11/12
745
Санкт-Петербург
rightways в сообщении #1015366 писал(а):
да, но есть условие $(a,n)=1$ оно мне мешает.

$n\equiv at \mod p$ Что тут мешает?
Такие задачи очень удобно решать цепными дробями. Возьмем простой модуль $137=11^2+4^2$. Разложим дробь $\frac{11}{4}=2,1,3$. Тогда знаменатель "зеркальной" дроби $3,1,2,2,1,3=\frac{137}{37}$ и есть нужное Вам $t$: $37^2\equiv -1\mod 137$. Если взять теперь $a=5$, то $n=37\cdot 5 \mod137=48$.
$5^2+48^2=137\cdot 17$
$(5,48)=1$
И любое другое по $\mod137$ не кратное пяти. Теперь заклюют меня что выложил с потрохами, хотя решения симметричными дробями в учебниках не встречал.

 Профиль  
                  
 
 Re: факт (возможно ложный): простое число вида p=4k+1
Сообщение16.05.2015, 18:24 


24/12/13
218
Нда..
Оказалось можно найти даже такое простое $n$...

-- 16.05.2015, 21:26 --

И условие $(a,p)=1$ неизлишнее

 Профиль  
                  
 
 Re: факт (возможно ложный): простое число вида p=4k+1
Сообщение16.12.2017, 21:38 


21/11/12
745
Санкт-Петербург
Andrey A в сообщении #1015412 писал(а):
Тогда знаменатель "зеркальной" дроби $3,1,2,2,1,3=\frac{137}{37}$ и есть нужное Вам $t$...

Подробнее об этом здесь: http://dxdy.ru/post1077031.html#p1077031 Подзаголовок "ПАЛИНДРОМЫ".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group