Комплексные числа в школе

[Pulseofmalstrem]

Доброе время суток!
В свое время я обучался в обычной школе, и в 10 классе целое полугодие (если не год), мне приходилось изучать тригонометрию с кучей громоздких формул. Вопрос мой таков: как Вы думаете не лучше бы ознакомить детей в этом возрасте с комплексными числами, а затем с их помощью научить детей и тригонометрии, все формулы которой легко выводятся из комплексных чисел и формул Муавра, Эйлера! Это позволило слегка познакомить учеников с миром алгебры, так как в школьной программе по предмету алгебра проходят очень малую толику того, что действительно алгебру составляет.

[Pphantom]

В общем-то какие-то серьезные преобразования тригонометрических выражений - явление не слишком частое и, как следствие, само по себе особой ценности для школы не представляющее. Это скорее удобный материал для тренировки, так что "серебряная пуля", позволяющая сразу решить все подобные задачи, тут более вредна, нежели полезна.

[arseniiv]

Проблему в школе могут составить всякие многозначности и потенциальное желание части учеников научиться возвозить комплексное число в комплексную степень (это кажется естественным, если знаешь, что можно целое в целую, рациональное в рациональную и так далее) или применять преобразования, которые они наконец-то еле освоили на вещественных, уже работающие тут ($i = \ldots = -i$). А вот матрицы…

[Pulseofmalstrem]

Pphantom
Зато комплексные числа могут стать прекрасным способ демонстрации красоты математики, а также неплохим мостиком к линейной алгебре, помимо традиционной геометрии.

[grizzly]

Pulseofmalstrem в сообщении #1275261 писал(а):

Зато комплексные числа могут стать прекрасным способ демонстрации красоты математики

Я думаю, это скорее хорошо, что так кажется бывшему ученику 10-го класса, который вряд ли работал учителем в школе (без иронии). Но я ничего не имею против "демонстрации красоты" комплексными числами на математическом кружке с чуть более продвинутым уровнем участников.

[Pphantom]

Pulseofmalstrem в сообщении #1275261 писал(а):

Зато комплексные числа могут стать прекрасным способ демонстрации красоты математики, а также неплохим мостиком к линейной алгебре, помимо традиционной геометрии.

В общем да, но их зачастую в школе и проходят. Просто позже.

[arseniiv]

Кстати, насколько сейчас распространены математические кружки? Это ведь отличная идея вообще-то, и притом совершенно не новая.

[Pphantom]

arseniiv в сообщении #1275279 писал(а):

Кстати, насколько сейчас распространены математические кружки?

Более чем.

[Pulseofmalstrem]

Pphantom
Не знаю в моей школе комплексным числам не учили совсем. 10 класс: тригонометрия, потом были логарифмы и показательные функции, потом производная и интеграл, а попутно очень много ЕГЭ (пробные тесты, такие тесты, секие тесты). Мне вообще кажется, что при таком объеме подготовки к ЕГЭ, как минимум, 11 класс выпадает из учебного процесса, что плохо.

P.S. Если комплексные числа и были, то их было мало и акцента на них не было от слова совсем.

[arseniiv]

Pphantom в сообщении #1275282 писал(а):

Более чем.

В том числе вне столиц и гимназий?

[fred1996]

grizzly в сообщении #1275269 писал(а):

Pulseofmalstrem в сообщении #1275261 писал(а):

Зато комплексные числа могут стать прекрасным способ демонстрации красоты математики

Я думаю, это скорее хорошо, что так кажется бывшему ученику 10-го класса, который вряд ли работал учителем в школе (без иронии). Но я ничего не имею против "демонстрации красоты" комплексными числами на математическом кружке с чуть более продвинутым уровнем участников.

Именно так. Факультативные классы, математические и олимпиадные кружки.
Мне кажется, комплексные числа и раньше вводили в школе в виде простых арифметических действий над ними и в качестве демонстрации решения полиномиальных уравнений. Не более того. Дальнейший крмплексный анализ вообще говоря уже связан с обычным матанализом. Требует знакомства с рядами. Если вы хотите более доказательного подхода.
Ну а связь в школе с тригонометрией можно демонстрировать не более чем как некий математический фокус. Не знаю, насолько это честно в математике пользоваться фокусами без раскрытия механизма. А так конечно, комплексные числа частенько помогают не только в тригонометрии, но и в геометрии. Наряду с инверсиями, тоже связанными с комплексными числами.

[Pphantom]

arseniiv в сообщении #1275295 писал(а):

В том числе вне столиц и гимназий?

Там их, естественно, меньше, но тоже есть. Не буду утверждать наверняка, ибо статистику не собирал, но по субъективным впечатлениям кружков по сравнению, например, с поздним СССР, действительно стало чуть ли не больше.

Правда, это, увы, одно из следствий общего "расслоения" школьного образования - сейчас куда реже, чем раньше, встречаются просто обычные добротные школы. Либо все куда объемней и лучше, либо, наоборот, резко хуже.

[fred1996]

Pphantom
Мне иногда кажется, что мы слишком строги к школам. Просто может оцениваем предметы с точки зрения своей колокольни и прожитых лет. Поэтому когда сталкиваемся сейчас с учебниками, многое и кажется наивным. А ведь тогда может и не казалось. Я, например, так и не смог определиться, хуже стало преподавание или лучше. Может оно просто не соответствует тому уровню представлений, но соответствует сегодняшнему? Я постоянно натыкаюсь на то, что современные школьники что-то знают хуже нас, а что-то лучше. Ну не было у нас такого уж супер-пупер образования в обычных школах. Я, кстати, именно такую обычную и заканчивл. А доп знания по физике извлекал из посещений физического кружка и самостоятельных занятий. Школы дают базовые знания. Ну а если хотите сверх, нанимайте репетиторов. В конце концов в обычных школах учатся школьники с обычными средними запросами. И если их грузить по всем предметам на продвинутом уровне, боюсь, будет только хуже. Ну будет у вас в классе 4-5 продвинутых. Зато остальные безнадежно отстанут.

[pcyanide]

Мне всегда казалось, что формула Муавра доказывается на основании тригонометрических формул, а не наоборот. Если ее принять за аксиому, тогда конечно

[SomePupil]

Pulseofmalstrem в сообщении #1275242 писал(а):

как Вы думаете не лучше бы ознакомить детей в этом возрасте с комплексными числами

В последнее время мне кажется, что в школе такого не нужно.

Pulseofmalstrem в сообщении #1275261 писал(а):

Зато комплексные числа могут стать прекрасным способ демонстрации красоты математики, а также неплохим мостиком к линейной алгебре, помимо традиционной геометрии.

Неделя до сессии $-$ вот настоящий мостик к линейной алгебре.

Как Вам такой расклад: возложить общественные амбиции на алтарь здравомыслия и позволить детям спокойно натаскиваться на ЕГЭ, без формул Эйлера и Муавра. У них итак там все расписано: С1, С2, С3... и эта система исправно работает. В этом случае разумно придерживаться главного принципа врачей, закончивших бакалавриат, $-$ "не навреди".