Сигма-функция

[kotenok gav]

Как доказать мультипликативность сигма-функции?
Сигма-функция - сумма делителей числа.
Мультипликативность $f(x)$ - для взаимно простых $a$ и $b$ выполняется $f(ab)=f(a)f(b)$
Решение:
Пусть $a=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\ldots p_k^{a_k}$ и $b=r_1^{c_1}r_2^{c_2}\ldots r_k^{c_n}$
Тогда

$$\operatorname{\sigma}(ab)=\prod^k_{i=1}(1+p_i+p_i^2+\ldots+p_i^{a_i})\prod^n_{i=1}(1+r_i+r_i^2+\ldots+r_i^{c_i})=\operatorname{\sigma}(a)\operatorname{\sigma}(b)$$

[Karan]

Приведите попытки решения. Хотя бы приведите определение сигма-функции, мультипликативности, и где именно у Вас возникает проблема в применении этих определений друг к другу.

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

-- 11.12.2017, 09:11 --

Ну если Вы знаете, что сумма делителей числа равна $\prod (1 + p_i + \dots + p_i^{a_i})$, то верно.

[ex-math]

А еще лучше доказать, что сумма значений мультипликативной функции по делителям $n$ будет мультипликативной функцией $n$. Тогда сигма сразу следует и куча других впридачу.