Преобразование квартики в форму Вейерштрасса

[dmd]

В этой теме был пример подобного преобразования. А как сделать преобразование уравнения с параметром:

$k^3 x^4+(9 k^2+9 k) x+(3 k^3+3 k^2) x^3+(3 k^3+9 k^2+3 k) x^2+9 k=y^2$

где $k$ - параметр

На первом шаге, согласно Степанов. Арифметика алгебраических кривых, с.114, нужно свободный член сделать полным квадратом. Но не пойму как это сделать в этом уравнении.

PARI/GP его преобразует:

? ellfromeqn(9*k+(9*k+9*k^2)*x+(3*k+9*k^2+3*k^3)*x^2+(3*k^2+3*k^3)*x^3+k^3*x^4-y^2)
%1 = [0, 3*k^3 + 9*k^2 + 3*k, 0, 27*k^5 + 18*k^4 + 27*k^3, 54*k^7 + 54*k^5]

Есть какой-то способ в PARI/GP вернуть замену переменных полученного преобразования?

[dmd]

Понял, для чего нужно было знание одной рациональной точки, упоминавшееся в той теме. Как раз для такого "сдвига" по абсциссе, чтоб свободный член стал полным квадратом. Процедура в книге Степанова получает кривую [0,0,0,a4,a6], а ellfromeqn в PARI/GP создаёт кривую [0,a2,0,a4,a6]. При этом по тексту Степанова мне видно, как сделать обратное восстановление переменных/координат для исходной квартики. А как выглядит процедура преобразований переменных/координат в ellfromeqn в PARI/GP - не понятно. Как вычисляются коэффициенты в ellfromeqn - нашёл, и статью с теорией. Но в этих текстах не вижу процедуры для преобразований переменных/координат. Кто понимает ситуацию - помогите.