Интеграл с обратной и прямой тригонометрической функцией

[arkansas]

Помогите взять такой интеграл
$\int\limits_0^\pi {{\text{arctg}}\,(a\,{\text{tg}}\,x)\,} dx$,
плиз!

[Narn]

Разбейте на интегралы от 0 до $\pi/2$ и от $\pi/2$ до $\pi$. Или просто картинку нарисуйте.

[arkansas]

Интересно, как картинка помогает аналитически решить интеграл??

[Brukvalub]

Narn писал(а):

Разбейте на интегралы от 0 до $\pi/2$ и от $\pi/2$ до $\pi$

и сделайте во втором интеграле такую замену , после которой его пределы интегрирования совпадут с пределами интегрирования на первом участке.

[Narn]

Вот чему равен интеграл $\int\limits_{-\sqrt{34}}^{\sqrt{34}}x^3 \sin (x^2+x^4+56) dx$?

А $\int\limits_{0}^{6}}(x-3)^4 \sin (x-3) dx$?

Просто в процессе рисования картинки можно кое-что увидеть (если сразу незаметно).

И почему все интегралы надо брать аналитически?

[arkansas]

Сорри, неправильно задал вопрос. Интеграл вот какой должен быть:

$$ \int\limits_0^\pi {{\text{arctg}}\,\left( {a\,{\text{tg}}\,\frac{x} {2}} \right)\,} dx $$

,

$$a$$

- действительное число

[Narn]

Можно продифференцировать по параметру. Пусть $F(a)$ - наш интеграл. Тогда $F(0)=0$. Дифференцируя, получаем интеграл от триг. функций (рац. дробь от тангенса), который точно берется в элем. функциях. $F'(a)=\frac {\ln(a^2)}{a^2-1}$ (считал Maple). Но когда будете интегрировать по $a$, все равно в элементарных функциях не возьмется- вылезает дилогарифм. См. тут http://mathworld.wolfram.com/Dilogarithm.html

[Brukvalub]

А "по частям" не пробовали?

[arkansas]

Да тут из частей-то ничего, кроме

$$ u(x) = {\text{arctg}}\left( {a\,{\text{tg}}\left( {\frac{x} {2}} \right)} \right) $$

, не придумывается. А от такой подстановки толку совсем нет никакого

[Echo-Off]

Narn писал(а):

$F(0)=0$ (считал Maple).

А что, ручками $F(0)$ посчитать сложно?

[Narn]

Echo-Off писал(а):

Narn писал(а):

$F(0)=0$ (считал Maple).

А что, ручками $F(0)$ посчитать сложно?

Сообщение отредактировано.

Кстати, законность дифференцирования под знаком интеграла тоже надо доказать. Я совсем об этом не думал.