Уравнение Эйри

[Draeden]

Уравнение Эйри $y''-xy=0$ имеет два лин. независимых решения ( http://en.wikipedia.org/wiki/Airy_equation ). Если $x > a^2 > 0$ то расстояние между последовательными корнями решения этого уравнения $L_x < \frac{\pi}a$. Почему ?

[zoo]

Draeden писал(а):

Уравнение Эйри $y''-xy=0$ имеет два лин. независимых решения ( http://en.wikipedia.org/wiki/Airy_equation ). Если $x > a^2 > 0$ то расстояние между последовательными корнями решения этого уравнения $L_x < \frac{\pi}a$. Почему ?

такое чувство что малый решил здесь получить краткий курс прогуленых за год дифуров

[Brukvalub]

Draeden писал(а):

Если $x > a^2 > 0$ то расстояние между последовательными корнями решения этого уравнения $L_x < \frac{\pi}a$. Почему ?

Это несложный факт, который Вам будет полезно попробовать доказать самому. Начните его доказывать, и со всеми возникшими по ходу док-ва затруднениями обращайтесь к нам на форум, мы поможем.

[Narn]

Draeden писал(а):

Уравнение Эйри $y''-xy=0$ имеет два лин. независимых решения ( http://en.wikipedia.org/wiki/Airy_equation ). Если $x > a^2 > 0$ то расстояние между последовательными корнями решения этого уравнения $L_x < \frac{\pi}a$. Почему ?

Если $x > a^2 > 0$, то ни о каких последовательных корнях говорить нельзя. Правильно: $-x > a^2 > 0$.

[Draeden]

Гхым... ну хорошо, попробую.
Итак

$y''-xy=0$
$0 < a^2 < x_1 < x_2$
$y(x_1)=y(x_2)=0$

Видно, что $\forall x \in (x_1,x_2) \quad -a^2 > -x$.
Пусть есть функция $z$ такая, что $z''-a^2z=0$, тогда $z$ имеет корень на $(x_1,x_2)$ ( или, как я это обычно записываю: $0 \in z((x_1,x_2))$ )
...последний факт вызывает у меня сомнения: я начинаю немного сочинять ( чтобы легче доказывть было )
Методом тыка, можно найти $z=e^{at}$. В принципе понятно, что $z$ никаких корней не имеет, итого: противоречие

Значит надо смотреть вариант №2: $x < -a^2$, как мне и говорили

Добавлено спустя 10 минут 59 секунд:

...если $-x > a^2$, то возьмём $z$ такое, что $z''+a^2z=0$.
Возьмём любые $x_1,x_2$ такие, что $x_1<x_2<-a^2<0$.
Тогда $\forall x \in (x_1,x_2) \quad -x > a^2$, а значит ( по теореме, которая, как мне кажется, должа быть ) любое решение системы

$y''-xy=0$
$y(x_1)=y(x_2)=0$

должно иметь корень на этом интервале, т.е. $0 \in y((x_1,x_2))$.
Методом подгонки, определяю, что $z$ может равняться $\sin ax$.
Раз уж $z=\sin ax$ имеет корни в точках $ax=\pi n$ ( это я точно знаю ),
то расстояние между корнями $y$ ( конечно эти корни лежат левее $-a^2$ ) не превышает $\frac{\pi}a$.

P.S. это оценка сверху, а вот интересно какая будет оценка снизу...

Добавлено спустя 1 минуту 18 секунд:

...короче, жду разноса за вольное применение теории Штурма

[Brukvalub]

Draeden писал(а):

Пусть есть функция $z$ такая, что $z''-a^2z=0$, тогда $z$ имеет корень на $(x_1,x_2)$ ( или, как я это обычно записываю: $0 \in z((x_1,x_2))$

Неясно, как наличие или отсутствие такой функции используется в доказательстве. Распишите подробнее.

[Taras]

Цитата:

.короче, жду разноса за вольное применение теории Штурма Smile

Штурм бы очень удивился.

Цитата:

Если $x > a^2 > 0$, то ни о каких последовательных корнях говорить нельзя. Правильно: $-x > a^2 > 0$

Именно так. Функция при у должна быть положительной.

[Draeden]

Brukvalub писал(а):

Draeden писал(а):

Пусть есть функция $z$ такая, что $z''-a^2z=0$, тогда $z$ имеет корень на $(x_1,x_2)$ ( или, как я это обычно записываю: $0 \in z((x_1,x_2))$

Неясно, как наличие или отсутствие такой функции используется в доказательстве. Распишите подробнее.

Теорема сравнений:

если выполнены условия

$y''+qy=0$
$z''+pz=0$
$p,q \in C$
$y(a)=y(b)=0$
$0 \not \in y((a,b))$
$\forall t \in (a,b) \quad p(t) \ge q(t)$
$c \in (a,b),\quad p(c) > q(c)$

то $0 \in z((a,b))$.

В частности, сравнивая уравнения о которых вы говорите: $y''-xy=0$, $z''-a^2z=0$, можно получить, что $z$ имеет корень на $(x_1,x_2)$.