Комплексный анализ

[Pyphagor]

Пусть $f(z)$ - периодическая функция с периодом $2\pi$, мероморфная в
полуплоскости $Imz > -\alpha (\alpha > 0)$.
Внутри области $Imz > 0, |Rez| < \pi$ имеет полюсы $a_{1},...,a_{n}$
На интервале $(-\pi, \pi)$ имеет полюсы $b_{1},...,b_{m}$.
Доказать, что если $f(z)$ удолетворяет условию $f(z) \rightarrow A(A \neq \infty)$ при
$Imz \rightarrow +\infty$ , то имеет место формула
$ v.p. \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)dx = 2\pi*A + 2\pi*i\sum\limits_{k=1}^n res f(a_{k}) + \pi*i\sum\limits_{k=1}^m res(f(b_{k})$
(в предположении, что интеграл стоящий слева существует)
Собственно говоря откуда берутся первые два слагаемых могу предположить. А как быть с третьим?

[ewert]

Pyphagor писал(а):

Пусть $f(z)$ - периодическая функция с периодом $2\pi$, мероморфная в
полуплоскости $Imz > -\alpha (\alpha > 0)$.
Внутри области $Imz > 0, |Rez| < \pi$ имеет полюсы $a_{1},...,a_{n}$
На интервале $(-\pi, \pi)$ имеет полюсы $b_{1},...,b_{m}$.
Доказать, что если $f(z)$ удолетворяет условию $f(z) \rightarrow A(A \neq \infty)$ при
$Imz \rightarrow +\infty$ , то имеет место формула
$ v.p. \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)dx = 2\pi*A + 2\pi*i\sum\limits_{k=1}^n res f(a_{k}) + \pi*i\sum\limits_{k=1}^m res(f(b_{k})$
(в предположении, что интеграл стоящий слева существует)
Собственно говоря откуда берутся первые два слагаемых могу предположить. А как быть с третьим?

А он порождается полюсами, расположенными на том самом отрезке $(-\pi, \pi)$, т.е. на самом прямоугольном контуре.

Однако! забыто указать, что те полюса должны быть простыми (ну максимум двукратными) -- а иначе ни фига.

[wotker]

А от куда берется 1-е слагаемое?

[ewert]

wotker писал(а):

А от куда берется 1-е слагаемое?

От верхней крышки того прямоугольного контура.

[Echo-Off]

ewert писал(а):

забыто указать, что те полюса должны быть простыми (ну максимум двукратными) -- а иначе ни фига.

Во-первых, для двукратных уже, как Вы изволили выразиться, "ни фига".
Во-вторых, сказано

Pyphagor писал(а):

в предположении, что интеграл стоящий слева существует

, из чего как раз и следует, что полюса в $b_k$ простые.

[ewert]

Echo-Off писал(а):

ewert писал(а):

забыто указать, что те полюса должны быть простыми (ну максимум двукратными) -- а иначе ни фига.

Во-первых, для двукратных уже, как Вы изволили выразиться, "ни фига".

Для двукратных -- вполне фига. Ибо интеграл от чётных степеней по в точности полуокружности в точности равен нулю. Это с нечётными степенями проблемы.

[Echo-Off]

ewert писал(а):

Для двукратных -- вполне фига. Ибо интеграл от чётных степеней по в точности полуокружности в точности равен нулю. Это с нечётными степенями проблемы

Причём здесь интеграл по контуру (по полуокружности), если в условии задачи спрашивается про главное значение Коши? Для двукратных полюсов оно не существует.

[ewert]

Echo-Off писал(а):

ewert писал(а):

Для двукратных -- вполне фига. Ибо интеграл от чётных степеней по в точности полуокружности в точности равен нулю. Это с нечётными степенями проблемы

Причём здесь интеграл по контуру (по полуокружности),

Тут интеграл не по полуокружности, а по прямоугольнику. Учитывающему периодичность.

(а полуокружности имелись в виду совсем другие -- те, которые вылавливают полувычеты)

[RIP]

Для справедливости формулы нужно ещё дополнительно предположить, что на луче $\mathop{\mathrm{Re}}z=\pi, \mathop{\mathrm{Im}}z\geqslant0$ нет полюсов. Либо точки $a$ брать из $\{-\pi<\mathop{\mathrm{Re}}z\leqslant\pi,\mathop{\mathrm{Im}}z>0\}$, а точки $b$ — из $(-\pi;\pi]$.

[Echo-Off]

ewert писал(а):

Тут интеграл не по полуокружности, а по прямоугольнику

Ладно, причём здесь интеграл по прямоугольнику, если в условии задачи спрашивается про V.P.? Если полюса двукратные, то V.P. не существует.

[RIP]

ewert писал(а):

Ибо интеграл от чётных степеней по в точности полуокружности в точности равен нулю. Это с нечётными степенями проблемы.

Наоборот.

Добавлено спустя 2 минуты 49 секунд:

Echo-Off писал(а):

Во-вторых, сказано

Pyphagor писал(а):

в предположении, что интеграл стоящий слева существует

, из чего как раз и следует, что полюса в $b_k$ простые.

Не следует.

[Echo-Off]

RIP писал(а):

Не следует

А что, нечётного порядка?

[RIP]

Это условие означает, что ряд Лорана в каждой точке $b_k$ не содержит чётных отрицательных степеней.

[ewert]

RIP писал(а):

Наоборот.

Да, это у меня какой-то заскок. Действительно, правильное требование: разложение не должно содержать чётных степеней. А поскольку особые точки предполагаются именно полюсами, то это требование действительно равносильно существованию главного значения.

А насчёт точек на вертикальных лучах -- подразумевается, что их нет (т.е. что перечислены все особые точки). Хотя с полюсами на этих лучах (и даже не обязательно с полюсами) смысл утверждения не изменился бы.

[Pyphagor]

Все это конечно похвально... но ни на йоту не позволяет мне приблизиться
к решению.