Прогнувшаяся нить

[WithoutName]

Пусть между двумя стенками натянута невесомая нить и имеет длину $L$. Теперь к её середине подвешивают грузик некоторой массы. Она прогинается под его весом. Допустим, для силы упругости выполняется закон Гука. Чтобы записать второй закон Ньютона для груза я ввожу вертикальную ось и пишу проекции сил на неё. Но вот в чем вопрос: если я найду новую длину нити $L'$ (после подвешивания), то в законе Гука для каждой "полунити" должна учитываться величина $L' - L$ или половина этой разности? С одной стороны интуитивно кажется, что половина, но это только интуиция. Там же у нас будет разложение одной вертикально направленной силы на две, где каждая будет проекцией силы со стороны "полунитей", а удлинение полунити как раз и будет равно половине той разности. Верно ли такое рассуждение?

[DimaM]

WithoutName в сообщении #1272837 писал(а):

Верно ли такое рассуждение?

Тут нужно вместо многих слов написать две формулы и нарисовать одну картинку.
(В скобках еще замечу, что растяжение половинки нити под действием силы примерно вдвое меньше растяжения целой нити под действием той же силы.)

[WithoutName]

Длина нити после прогибания $L'$. Удлинение нити $L' - L$. Мой вопрос: верно ли, что $f_1 = f_2 = 0.5C(L' - L)$? То есть можно ли мысленно разбить единую нить на две полунити? И почему?

[DimaM]

WithoutName в сообщении #1272840 писал(а):

Мой вопрос: верно ли, что $f_1 = f_2 = 0.5C(L' - L)$?

Зависит от значения буковки $C$.

WithoutName в сообщении #1272840 писал(а):

То есть можно ли мысленно разбить единую нить на две полунити?

Можно.

[wrest]

WithoutName в сообщении #1272840 писал(а):

И почему?

По 3-му закону Ньютона, вы можете разбить на сколько угодно частей, главное не забыть при этом что в месте "разрезания" появляется две равных по модулю и противоположно направленных силы.

[fred1996]

Закон Гука принято записывать так:
$F=-k(L'-L)$
Для к-та жесткости обычно принято использовать буковку $k$. В данном случае у вас $k$ относится к целой нити. Вы могли бы написать его в применении к половинке нити. Тогда к-жесткости половинки нити увеличится вдвое, но вдвое уменьшится ее растяжение. То есть сила натяжения естественным образом не изменится.

В более общем виде закон Гука выглядит так:
$F=-ES\frac{\triangle L}{L}$
Здесь он уже относится к материалу и геометрическим параметрам деформируемого тела. $S$ - площадь поперечного сечения, а $\frac{\triangle L}{L}$ - относительная продольная деформация тела.
Как видно, если укоротить нить вдвое, вдвое уменьшится и растяжение. То есть сила натяжения не изменится.
Ну а в теории упругости принята еще белее общая формула: $\varepsilon=\frac{1}{E}\sigma$
Здесь $\varepsilon$ -относительная деформация, а $\sigma=\frac{F}{S}$ напряжение - аналог давления в жидкостях и газах. Понятно, что в твердых телах напряжение может быть положительным и отрицательным. Положительное няпряжение (растяжение) как бы соответствует отрицательному давлению.

[DimaM]

fred1996 в сообщении #1272844 писал(а):

Ну а в теории упругости принята еще белее общая формула: $\varepsilon=\frac{1}{E}\sigma$

Это, скорее, не "более общий", а наоборот, предельно частный случай (простая деформация, причем только одна компонента тензора деформаций).

[fred1996]

DimaM
Скажем так. Это более общий вид для описания простых деформаций, к которым относится например растяжение нити. Короче, тот вид, на котором останавливается обычно школьная физика.

[DimaM]

fred1996 в сообщении #1273102 писал(а):

Короче, тот вид, на котором останавливается обычно школьная физика.

Школьная физика останавливается на $F=-kx$. Изредка встречается примерно однократное упоминание $F=-ES\dfrac{\Delta L}{L}$.

[Dmitriy40]

Возможно школы у всех разные ...

[fred1996]

Dmitriy40
Это верно. То что упоминает DimaM, это советский школьный вариант. Который и мы проходили в свое время.
Американский вариант наряду с советским пользеутся такими терминами как stress и strain.
И график stress-strain с эластичной, пластичной деформациями и пределом прочности.
В том числе и деформации сдвига.
Ну по крайней мере это то, что необходимо знать школьникам в продвинутых классах. Естественно, в школе тензоры не проходят.

Изучению деформации материалов в простейшем виде посвящается пол-главы из учебника Giancoli - базового учебника по физике примерно в 30% американских школ. В моей округе вообще 100%. Почти сразу после этой главы идет грава о колебаниях и волнах, где уже используются механизмы образования волн как следствие этих деформаций и даже выводится формула для скорости распространения волн в сплошной среде как функции модуля Юнга и плотности.