2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: школьная геометрия *
Сообщение04.12.2017, 11:20 
Аватара пользователя


09/10/15
2791
Columbia, Missouri, USA
grizzly в сообщении #1271376 писал(а):
Красивая задача. Насколько просто доказывается, что у прямоугольного треугольника углы равны и насколько сложнее -- обратная задача. Всё никак не покидает ощущение, что можно поискать простое рассуждение и в обратную сторону. Идея fred1996 мне нравится и она превращает задачу в хороший пример полезности методов анализа в геометрии.


(Оффтоп)

Когда-то в школе мне нравилась геометрия. Но потом на долгие годы я про нее забыл.
А потом как-то разговаривал с одним учителем математики, он мне и говорит, что мол в геометрии уже давно победили алгебраисты, и что мол сейчас всю геометрию доказывают с помощью анализа. Я, честно говоря, тогда не совсем понял его. А сейчас, когда начал наталкиваться на задачи по геометрии на этом форуме, понял, что геометрически совершенно разучился их решать. И все пытаюсь решить их аналитически, как в физике. Теперь я кажется понял ту сентенцию учителя математики.

 Профиль  
                  
 
 Re: школьная геометрия *
Сообщение04.12.2017, 14:59 


05/09/16
3560
pcyanide в сообщении #1271918 писал(а):
Если треугольник прямоугольный, то М - центр описанной окружности, то есть MA, MB и MC равны. Не вижу пока способ доказать это равенство.

Какое именно?
$MA=MC$ по определению медианы. $MB=MC$ доказывается элементарно достройкой прямоугольного треугольника $ABC$ до прямоугольника $ABCE$ ($AB$ параллельно $CE$ и $BC$ параллельно $AE$), тогда $AC$ и $BE$ диагонали, которые в прямоугольнике равны, пересекаются в точке $M$ и этой точкой делятся пополам.

 Профиль  
                  
 
 Re: школьная геометрия *
Сообщение04.12.2017, 15:54 


01/12/11

1047
Используя условия задачи, построить заданный треугольник невозможно. Необходимо ещё одно из его свойств. Это свойство задано в виде предполагаемого ответа: $\angle ABC$ прямой.
Естественно искать решение для прямоугольного треугольника, используя его свойства.

 Профиль  
                  
 
 Re: школьная геометрия *
Сообщение04.12.2017, 15:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5441
Skeptic в сообщении #1271937 писал(а):
Используя условия задачи, построить заданный треугольник невозможно.
Вы не поняли. Это задача не на построение. Вообще не нужно ничего строить. Дан треугольник, у которого указанные углы равны. Нужно только доказать, что этот треугольник обязан быть прямоугольным. И даже тогда Вы его не сможете построить, потому что таких треугольников о-очень много разных.

 Профиль  
                  
 
 Re: школьная геометрия *
Сообщение04.12.2017, 19:02 


05/09/16
3560
Skeptic в сообщении #1271937 писал(а):
Используя условия задачи, построить заданный треугольник невозможно.

В смысле невозможно?
1. Строите прямую $b$
2. На прямой $b$ выбираете две точки $D$ и $M$
3. Из точки $D$ восставляете перпендикуляр и на этом перпендикуляре отмечает точку $B$
4. Соединяете точки $B$ и $M$
5. Строите биссектрису угла $\angle DBM$ и на её пересечении с прямой $b$ отмечаете точку $K$.
6. Строите окружность с центром в точке $M$ радиусом $MB$, на пересечении окружности и прямой $b$ отмечаете точки $A$ и $C.
7. Соединяете точки $A$ и $B$ а также точки $B$ и $C
8. Треугольник $ABC$ построен.

 Профиль  
                  
 
 Re: школьная геометрия *
Сообщение05.12.2017, 08:49 


01/12/11

1047
grizzly, это вы не понимаете, что геометрия - это, прежде всего, чертёж, который надо построить.


wrest, вы строите треугольник в предположении, что он прямоугольный. А в задаче это надо доказать. Т.е. вы используете ответ, как недостающее свойство треугольника. О чём я и писал. Попробуйте построить нужный треугольник, исходя только из заданного равенства углов, не привлекая его прямоугольность.

Я из ответа, что треугольник прямоугольный, решаю задачу.

 Профиль  
                  
 
 Re: школьная геометрия *
Сообщение05.12.2017, 10:32 


05/09/16
3560
Skeptic в сообщении #1272152 писал(а):
Попробуйте построить нужный треугольник, исходя только из заданного равенства углов, не привлекая его прямоугольность.

Задано не только равенство углов, но и то что эти углы образуют медиана (а значит задано равенство некоторых отрезков) и высота (а значит задан некий угол который прямой). Вот эти условия я использую при построении также как и условие равенства углов.

Skeptic в сообщении #1272152 писал(а):
Я из ответа, что треугольник прямоугольный, решаю задачу.

Ну вы решаете обратную задачу, как тут уже говорилось. Если треугольник $\triangle ABC$ прямоугольный, то медиана равна половине гипотенузы а из этого немедленно следует, что треугольник $\triangle BMC$ равнобедренный и так далее.
Прямая задача тут доказать что если медиана равна половине стороны на которую она опущена то треугольник необходимо прямоугольный. Это тоже быстрый путь к решению исходной задачи.
Предположим, что доказано, что и из $BM=\frac{1}{2}AC$ следует, что угол $\angle ABC$ прямой (сможете доказать?).
Тогда, поскольку углы $\angle ABD=\angle MBC$ по условию задачи, а углы $\angle ABD = \angle BCD = \angle BCM$ из подобия прямоугольных треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$, то углы $\angle MCB = \angle MBC$ и треугольник $\triangle MBC$ равнобедренный, с равными сторонами $MB=MC$, а поскольку по условию задачи $BM$ медиана то $AM=MC$ и выходит что $BM=\frac{1}{2}AC$ а так может быть только если угол $\angle ABC$ прямой, ЧТД.

 Профиль  
                  
 
 Re: школьная геометрия *
Сообщение05.12.2017, 11:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5441
Skeptic в сообщении #1272152 писал(а):
grizzly, это вы не понимаете, что геометрия - это, прежде всего, чертёж, который надо построить.
Надо же, а я всегда думал, что геометрия -- это прежде всего участок земли, который нужно измерить / поделить.

 Профиль  
                  
 
 Re: школьная геометрия *
Сообщение05.12.2017, 23:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
22977
Уфа

(Можно я побуду кэпом? Ну пожаалуйста. :roll:)

Skeptic в сообщении #1272152 писал(а):
это вы не понимаете, что геометрия - это, прежде всего, чертёж, который надо построить
Если предполагать, что каждая задача требует обязательно построения точного чертежа, возникает куча ерунды: (1) интересующий объект может быть не единственно возможным, в том числе их может быть континуум, даже если брать их с точностью до движения; (2) интересующий объект может быть трёхмерным (или это неестественное понимание задач, раз оно не обобщается на евклидовы пространства других размерностей и в том числе рассматриваемую в школе стереометрию); (3) построение может быть невозможно имеющимися ресурсами (время, знания, инструменты).

И это всё, конечно, глупости, ибо главный и нулевой аргумент в том, что если задача на доказательство/вычисление, она вообще не может быть решена черчением чего-либо. Эскизные чертежи используются для помощи голове увидеть путь — точные помогут ей для таких целей качественно не больше.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 54 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group