Остаточный член формулы Тейлора

[provincialka]

В этом году у меня больше часов на матанализ, поэтому удалось даже рассказать (на практике) про разные формы остаточного члена формулы Тейлора. К сожалению, из-за редкости использования, я как-то подзабыла тонкости этого дела.

Мне смутно помнится, что есть случаи (для конкретных функций), когда оценка остатка по Лагранжу хуже, чем по Коши. Но быстро вспомнить/найти такие случаи я не смогла.

Не подскажет ли кто такие примеры? (посмотрела экспоненту, логарифм, синус-косинус... там Коши хуже... Степенную функцию пока не смотрела)

[amon]

provincialka в сообщении #1272324 писал(а):

Не подскажет ли кто такие примеры?

Могу подсказать пример того, как это может в жизни пригодиться и даже спасти последнюю ;)

Г.Гамов в My world line писал(а):

Here is a story told to me by one of my friends who was at that time a young professor of physics in Odessa. His name was Igor Tamm (Nobel Prize laureate in Physics, 1958). Once when he arrived in a neighboring village, at the period when Odessa was occupied by the Reds, and was negotiating with a villager as to how many chickens he could get for half a dozen silver spoons, the village was captured by one of the Makhno bands, who were roaming the country, harassing the Reds. Seeing his city clothes (or what was left of them), the capturers brought him to the Ataman, a bearded fellow in a tall black fur hat with machine-gun cartridge ribbons crossed on his broad chest and a couple of hand grenades hanging on the belt.

"You son-of-a-bitch, you Communistic agitator, undermining our Mother Ukraine! The punishment is death."
"But no," answered Tamm, "I am a professor at the University of Odessa and have come here only to get some food."
"Rubbish!" retorted the leader. "What kind of professor are you?"
"I teach mathematics."
"Mathematics?" said the Ataman. "All right! Then give me an estimate of the error one makes by cutting off Maclaurin's series at the n-th term. Do this, and you will go free. Fail, and you will be shot!"
Tamm could not believe his ears, since this problem belongs to a rather special branch of higher mathematics. With a shaking hand, and under the muzzle of the gun, he managed to work out the solution and handed it to the Ataman.
"Correct!" said the Ataman. "Now I see that you really are a professor. Go home!"

[provincialka]

amon
История замечательная!

Слава богу, у нас сейчас мирно... Так что что разные формы остатков можно увидеть в интернете.
Но ответа на свой вопрос я "с налета" не нашла. Поэтому жду дальше!

[kp9r4d]

Эти разные формы остаточных членов настолько бесполезное знание, что даже пример их использования специально не придумаешь. 3: Извиняюсь за оффтоп, наболело.

[DeBill]

provincialka
Для логарифма: если остаток оценивать по Лагранжу, то, вроде, получается только до $\frac{1}{2}$. А по Коши - для всех, от 0 до 2 (ряд с центром в 1.)
Да, вроде, и для $(1+x)^{\alpha}$: при отрицательных $x$, Коши тоже лучше.

[provincialka]

DeBill
Спасибо! Видимо, я рано остановилась, не дошла до степени.
Да, точно! Для логарифма $\ln(1+x)$ при отрицательных $x$ Лагранж дает оценку погрешности $\frac{1}{n+1} \left(\frac{|x|}{1-|x|}\right)^{n+1}$, а Коши -- $\frac{|x|^{n+1}}{1-|x|}$.

Для степени тоже, наверное, есть какие-то интересные вещи.

-- 06.12.2017, 00:18 --

kp9r4d
Ну уж! Прям "наболело"... Сочувствую!
Так-то в математике много чего "бесполезного"... И сама формула Тейлора, если сильно подумать... Не особо нужна: все, что надо, давно запрограммировано...

[ewert]

provincialka в сообщении #1272441 писал(а):

И сама формула Тейлора, если сильно подумать... Не особо нужна: все, что надо, давно запрограммировано...

Она не столько для вычислений нужна, сколько для теории. Вычислять обычно эффективнее другими способами (но, между кстати, эти способы тоже так или иначе на неё опираются).

Для теории же принципиальны лишь две формы -- Пеано и Лагранжа.

Первая замечательна тем, что требует от функции минимально необходимого. Т.е. она верна в предположении, что формула Тейлора вообще имеет хоть какой-то смысл.

Вторая хороша тем, что перекидывает мостик от формулы Тейлора к ряду Тейлора. И при этом выглядит очень естественно. Кроме того, она стоит в цепочке довольно многочисленных обобщений базовой теоремы Лагранжа о конечных приращениях. В общем, она тоже замечательна.

Всё остальное -- это бантики. Та же форма Коши, или там интегральная форма -- да, иногда помогают. Но -- в сугубо частных вопросах.

[provincialka]

ewert
Спасибо! Вы подтвердили мое первоначальное мнение об этих остаточных членах!