minimal perimeter

[ghenghea]

Пусть задан равностороний треугольник $ ABC$ со стороной $a$ и $M$ - фиксированная точка стороны $(AB)$ . Точки $N$ и $P$ взяты на сторонах $AC$ и $BC$ соответственно так, что периметр треугольника $MNP$ является наименьшим. Есль отношение площадей треугольников $MNP$ и $ABC$ равно $7:30$, найдите периметр треугольника $MNP$.

[fred1996]

Первое что приходит в голову, это два раза зеркально отобразить треугольник по пути периметра. Тогда на получившейся развертке минимальный периметр - это прямая.
Физически это интерпретируется как путешествие луча света, который выходит из исходной точки и туда же возвращается. То есть везде углы падения равны углам отражения.
Тогда довольно просто сосчитать такой кратчайший периметр как функцию например расстояния точки до ближайшей вершины.
К тому же появляется три подобных треугольника. Пытался найти площадь тригонометрически, но что-то запутался. Мне кажется с площадями и подобиями есть какое-то красивое решение. Пока не придумалось.

[fred1996]

В общем с подобиями получилось неплохо.
Итак, в исходной конструкции треугольники $AMN$, $BMP$ и $CNP$ подобны.
Вершины я как раз указал в порядке подобия.
Пусть у нас задана длина отрезка $AM=x$. Нам нужно найти длину отрезка $AN=y$ и к-ты подобия треугольников $K_1$ и $K_2$ соответственно.
Для простоты будем считать, что все стороны исходного треугольника единичной длины.
Тогда у нас моментально получаются три уравнения для трех сторон:
1. Сторона $AB$: $x+K_1y=1$
2. Сторона $BC$: $K_1x+K_2x=1$
3. Сторона $AC$: $y+K_2y=1$
То есть по заданному $x$ все что надо считается. И можно посчитать искомую площадь как функцию $x$.
Ну а периметр как функцию $x$ можно сосчитать из развертки - двукратному отражению треугольника относительно сторон.
Единственный минус. Выражения достаточно громоздки. Поэтому окончательного ответа нет.

[mihiv]

Для $p_{\min}$ получается биквадратное уравнение. $p_{\min}=a\sqrt {\frac 73}, AM=\dfrac a3$.