Как решать задачи по теории множеств

[SomePupil]

kernel1983 в сообщении #1271494 писал(а):

Сразу же эквивалентность можно доказать...

А когда Вы это делаете, то Вы неизбежно доказываете следования туды-сюды.

[kernel1983]

SomePupil в сообщении #1271498 писал(а):

А когда Вы это делаете, то Вы неизбежно доказываете следования туды-сюды.

Нет, если использовать равносильности логики высказываний.

[gogoshik]

Mikhail_K в сообщении #1271491 писал(а):

Из $x\in B$ автоматически следует $(x\in A)\vee(x\in B)$, а это и есть $x\in A\cup B$. Здесь даже посылку $A\subset B$ использовать не пришлось. А вот почему следует - ну, вспоминайте логику.

Думаю, что это может быть потому что в случае составного высказывания с дизъюнкцией оно будет истинно в случае истинности хотя бы одного из элементарных высказываний. В данном случае истинно (по предположению) $x\in B$. Дизъюнктивное добавление (приписка) к нему выражения $x\in A$ ничего не меняет.

Mikhail_K в сообщении #1271491 писал(а):

Непонятно, что Вы думали. Надо доказать, что

Надо доказать, что из $A\subset B$ следует истинность $A \cap B = A$. Вы после того как написали $A\subset B$ начали новое предложение со слова "тогда". Оно сбило с толку, так как я подумал, что это следствие какой то Вашей мысли.

[Mikhail_K]

gogoshik в сообщении #1271637 писал(а):

Думаю, что это может быть потому что в случае составного высказывания с дизъюнкцией оно будет истинно в случае истинности хотя бы одного из элементарных высказываний. В данном случае истинно (по предположению) $x\in B$. Дизъюнктивное добавление (приписка) к нему выражения $x\in A$ ничего не меняет.

Ага.

[gogoshik]

Прошу проверить, плиз, остальные варианты.

Пусть $A \cap B = A$.
В таком случае, если $x \in A$ тогда и $x \in B$ (в силу посылки). Таким образом $x \in A \Rightarrow x \in B$, т.е. $A \subset B$.
Если $x \in A \cup B$, тогда $(x \in A) \vee (x \in B)$. Тогда если $x \in A$, то $(x \in A) \wedge (x \in B)$ (в силу посылки). Следовательно $x \in B$.
В обратную сторону. $x \in B \Rightarrow x \in A \Rightarrow (x \in A) \vee (x \in B) \Rightarrow x \in A \cup B$.

[Mikhail_K]

gogoshik в сообщении #1271725 писал(а):

В обратную сторону. $x \in B \Rightarrow x \in A \Rightarrow (x \in A) \vee (x \in B) \Rightarrow x \in A \cup B$.

Первое следование здесь откуда?
Вам здесь дано, что $A\cap B=A$, и Вы доказываете, что $A\cup B=B$. В одну сторону нормально (там где из $x\in A\cup B$ выводите $x\in B$), а в другую - что-то не то.

[gogoshik]

Mikhail_K, спасибо.
Тогда просто $x \in B \Rightarrow (x \in B) \vee (x \in A) \Rightarrow x \in A \cup B$.

[vpb]

Я думаю, тут чем больше следования шаблону, формальности и матлогики, тем в конце концов медленнее и хуже понимание. Аккуратность в рассуждениях это одно, формализм --- другое. И если намеренно чересчур размельчать процесс решения, это тоже вредно. Таков мой опыт.

[Mikhail_K]

gogoshik в сообщении #1271754 писал(а):

Тогда просто $x \in B \Rightarrow (x \in B) \vee (x \in A) \Rightarrow x \in A \cup B$.

Да.

[gogoshik]

Благодарю всех кто принимал конструктивное участие! Буду решать остальные задачи (их десять, это была первая).

[PS] Тут некоторые форумчане предлагали доказательство иным способом (через эквивалентности), апеллируя к упрощению схемы доказательства. Не знаю, действительно ли такой метод сокращает количество логических выводов и саму запись. И нужно ли это?