Афинное преобразование с единственной неподвижной точкой

[ikozyrev]

Пытаюсь решить задачку:
Доказать что при афинном преобразовании с единственной неподвижной точкой, все инвариантные прямые проходят через эту неподвижную точку.
Рассуждаю так:
Пусть есть инвариантая прямая $l_1$, не проходящая через единственную неподвижную точку $x_0$.
Тогда существует инвариантная прямая $l_0$, параллельная $l_1$, проходящая через $x_0$ (потому что любой отрезок от $x_0$ до любой точки на этой прямой должен переходить в параллельный отрезку от $x_1$ до какой-либо точки на $l_1$)
Возьмем точку $x_1$ на прямой $l_1$, тогда, вектор $x_0x_1$ перейдет в какой-то вектор $x_0x_2$ где $x_2$ - точка лежащая на $l_1$. Интуитивно ясно что тут дальше надо как-то воспользоваться сохранением параллельности при афииных преобразованиях но что-то как-то дальше фантазии не хватает... Может поможет кто-то?

[DeBill]

А что можно сказать про сужение Вашего аффинного на $l_1$? У него ведь нет неподвижных, да?

[ikozyrev]

DeBill в сообщении #1271571 писал(а):

А что можно сказать про сужение Вашего аффинного на $l_1$? У него ведь нет неподвижных, да?

Да, у него нет неподвижных, поэтому $\forall x_1\in l_1, \exists x_2\in l_1: x_1\mapsto x_2, x_1\ne x_2$.
Но что дальше?

[DeBill]

Ну я и спрашиваю: что можно сказать про отображение прямой вида $x\mapsto kx+b$ без неподвижных точек? Неужели это не сдвиг?

[ikozyrev]

DeBill в сообщении #1271586 писал(а):

Ну я и спрашиваю: что можно сказать про отображение прямой вида $x\mapsto kx+b$ без неподвижных точек? Неужели это не сдвиг?

Ну да, сужение нашего афинного на $l_1$ - это сдвиг. Но что это нам дает для доказательтсва невозможности такой прямой?

[DeBill]

Ну, может, построить параллелограмм со сторонами на $l_1$ и $l_0$?

[ikozyrev]

DeBill в сообщении #1271660 писал(а):

Ну, может, построить параллелограмм со сторонами на $l_1$ и $l_0$?

Ok, спасибо, разобрался.

[VAL]

DeBill в сообщении #1271586 писал(а):

Ну я и спрашиваю: что можно сказать про отображение прямой вида $x\mapsto kx+b$ без неподвижных точек? Неужели это не сдвиг?

Разумеется, нет!
У прямой вообще нет сдвигов.
В геометрии сдвиг - это аффинное преобразование плоскости (пространства), с точечно-двойной прямой (гиперплоскостью), у которого направление родства параллельно оси (гиперплоскости) родства.

Разумеется, я понимаю, что Вы имели в виду параллельный перенос.
В последнее время я все чаще сталкиваюсь с тем, что параллельный перенос называют сдвигом. Например, так поступает Зорич в известном учебнике.
Но даже его авторитет не является оправданием для путаницы в терминологии.
Это ведь не та ситуация, когда в разных науках или хотя бы разделах один и тот же термин используется в разных смыслах. А разные смыслы в пределах вполне конкретной темы (аффинные преобразования) - это, IMHO, перебор.

PS: Извините за занудство. Старею, наверное.

[ikozyrev]

VAL в сообщении #1271899 писал(а):

DeBill в сообщении #1271586 писал(а):

Ну я и спрашиваю: что можно сказать про отображение прямой вида $x\mapsto kx+b$ без неподвижных точек? Неужели это не сдвиг?

Разумеется, нет!
У прямой вообще нет сдвигов.
В геометрии сдвиг - это аффинное преобразование плоскости (пространства), с точечно-двойной прямой (гиперплоскостью), у которого направление родства параллельно оси (гиперплоскости) родства.

Разумеется, я понимаю, что Вы имели в виду параллельный перенос.
В последнее время я все чаще сталкиваюсь с тем, что параллельный перенос называют сдвигом. Например, так поступает Зорич в известном учебнике.
Но даже его авторитет не является оправданием для путаницы в терминологии.
Это ведь не та ситуация, когда в разных науках или хотя бы разделах один и тот же термин используется в разных смыслах. А разные смыслы в пределах вполне конкретной темы (аффинные преобразования) - это, IMHO, перебор.

PS: Извините за занудство. Старею, наверное.

Спасибо за комментарий.
Я сейчас занимаюсь по лекциям, в которых дается следующее определение:

Правильно ли я понимаю что в математике принято, что автор может давать свои определения (или переопределять чужие), и потом пользоваться ими в рамках курса?

[VAL]

ikozyrev в сообщении #1271930 писал(а):

Правильно ли я понимаю что в математике принято, что автор может давать свои определения (или переопределять чужие), и потом пользоваться ими в рамках курса?

Разумеется, в идеале желательно пользоваться единой системой определений, как минимум, для общепринятых вещей.
Вот только достижим ли идеал?

Приведенное мной определение сдвига соответствует тому, что дано в мат. энциклопедии.
Но, похоже, все большее число математиков используют термин "сдвиг" как синоним параллельного переноса. Интересно, как они называют настоящий сдвиг?