Найти эллипс через два радиуса

[StaticZero]

Это мне кажется очевидным (что эллипс существует тогда и только, когда система совместна), но не всё то верно, что очевидно.

Вы можете проверить это следующим образом. Потребуйте, чтобы точки $\mathbf r_1$ и $\mathbf r_2$ лежали на эллипсе и касательная к одной из них имела бы фиксированное направление (ну, горизонтальное или вертикальное, чтобы было более просто). Нужно понять, "прибита" ли касательная в другой точке (то есть её направление однозначно выражается через заданные параметры) или нет.

(Я не решал такую задачу)

-- 01.12.2017, 01:35 --

Можно исходить также из двух фиксированных касательных и одной закреплённой точке на эллипсе. Тогда требуется узнать, что творится со второй точкой. Но мне кажется, что это не проще.

[Someone]

StaticZero в сообщении #1270561 писал(а):

Если эллипс повёрнут, то $B \ne 0$, можно пронормировать его на двойку.

$$ Ax^2 + 2 x y + Cy^2 + F = 0. $$

Лучше пронормировать свободный член, который для эллипса заведомо не равен нулю, и рассматривать уравнение $Ax^2+2Bxy+Cy^2=1$. Оно может задавать не только эллипс, но также гиперболу, пару параллельных прямых или пустое множество.

llpu3pak в сообщении #1270567 писал(а):

А несовместна она будет только в случаях, когда эллипс, удовлетворяющий ограничениям, не существует?

Ну, если требуемый эллипс существует, то система будет совместна. Обратное может быть и неверным, так как рассматриваемое уравнение определяет не обязательно эллипс, но это легко выяснить после нахождения коэффициентов.

StaticZero в сообщении #1270576 писал(а):

Можно исходить также из двух фиксированных касательных и одной закреплённой точке на эллипсе. Тогда требуется узнать, что творится со второй точкой. Но мне кажется, что это не проще.

Скорее хуже, так как в первом случае будет два уравнения первой степени и одно второй, а во втором — одно первой и два второй степени. После нахождения коэффициентов и подстановки их в четвёртое уравнение получится условие совместности.

[amon]

А я бы ввел два вектора вдоль полуосей эллипса $\vec{a}$ и $\vec{b},$ записал бы уравнение эллипса как $$\vec{r}=\vec{a}\cos t+\vec{b}\sin t,$ и воспользовался бы тем, что производные по $t$ в заданных точках имеют только одну ненулевую координату.

[ludwig51]

А если записать уравнение эллипса в параметрической форме в новой системе координат $x'$, $y'$, повёрнутой на угол $\theta $ относительно системы $x,\,y$.
$x'=a\cos\,t',\, y'=bsin\,t'\,(1)$
В системе $x,y$:
$x=x'\cos\theta-y'\sin\theta,\, y=x'\sin\theta+y'\cos\theta\,(2)$
В уравнения (1) и (2) подставляем координаты двух точек и получаем 4 уравнения с пятью неизвестными.
Из этих же уравнений находим $dx$ и $dy$.
в точке 1 $dx/dy=0$, в точке 2 $dy/dx=0$.
Из последних соотношений находим 4 угла $\theta$.
Выбираем угол, который удовлетворяет действительному эллипсу.

[StaticZero]

ludwig51 в сообщении #1271102 писал(а):

4 уравнения с пятью неизвестными.

У эллипса, грубо говоря, три параметра (у того, кто центром посажён в нуль): полуоси и угол поворота. А ещё две неизвестные вы откуда взяли?

[ludwig51]

StaticZero в сообщении #1271128 писал(а):

У эллипса, грубо говоря, три параметра (у того, кто центром посажён в нуль): полуоси и угол поворота. А ещё две неизвестные вы откуда взяли?

Параметры $t_1',\, t_2'$.
Из них находится угол поворота.

[ludwig51]

fred1996 в сообщении #1269999 писал(а):

Можно попытаться решить обратную задачу. По заданным полуосям и углу поворота найти эти две точки. Эта задача имеет хоть и громоздкое, но аналитическиое решение.

Не очень громоздкое, если в параметрической форме.
$x_1=a\cos\,t_1'\cos\theta -b\sin\,t_1'\sin\theta\,(1)$
$y_1=a\cos\,t_1'\sin\theta +b\sin\,t_1'\cos\theta\,(2)$

$x_2=a\cos\,t_2'\cos\theta -b\sin\,t_2'\sin\theta\,(3)$
$y_2=a\cos\,t_2'\sin\theta +b\sin\,t_2'\cos\theta\,(4)$

$t'$ - параметр в системе $ x'y'$, повёрнутой относительно $xy$ на угол $\theta$ в положительном направлении.

Из условий для касательных:
$t_1'=-\arctg(\frac{b}{a}\tg\theta )\,(5)$

$t_2'=\arctg(\frac{b}{a\,\tg\theta })\,(6)$

В решении прямой задачи также имеется аналитическое решение. Но очень громоздкое.
Но с современными средствами - очень простое.
Например, функция Excell - поиск решения. При помощи этой функции можно решать системы нелинейных уравнений.

Я задал пример $(x_1,y_1)=(4,3)$, $(x2,y2)=(2,5)$
Результат:
эллипс через эти точки построить нельзя, при заданных условиях.
Можно, например:
$(x_1,y_1)=(4,3)$, $(x2,y2)=(2,6)$
Результат:
$a=6,45; b=3,22; \theta=64,9$°
То есть одно из данных $x_1,y_1,x_2,y_2$ - зависимое.
Значит при нахождении решения надо использовать 3 из 4 уравнений (1-4).
А одно уравнение решать отдельно.
Задача очень интересная. И для ТС надо найти решение аналитически.

(Оффтоп)

Не всегда были такие мощные вычислительные средства.
Во времена моей учёбы в институте, у нас были только логарифмические линейки.