Финальная скорость тележки

[pogulyat_vyshel]

Имеется тележка на двух колесах (двумерная такая картинка). Тележка состоит из платформы массой $M$ и двух колес, каждое колесо представляет собой однородный диск радиуса $r$ и массы $m$. Тележку ставят на горизонтальную плоскость и придают платформе толчком начальную скорость $v$. Колеса в начальный момент времени не крутятся. Коэффициенты линейно вязкого трения между каждым колесом и плоскостью равны соответственно $k_1,k_2$. Какова финальная (при $t\to\infty$) скорость платформы?

[wrest]

pogulyat_vyshel
А зачем в условии слово "толчком"? Его можно опустить?

[dovlato]

Надо писать ДУ. Ясно, что они все линейные относительно обеих производных от омег и от скорости корпуса. Три этапа, на каждом из них ДУ - с постоянными коэффициентами.

[AnatolyBa]

Линейное вязкое трение - имеется в виду, что сила трения пропорционально скорости проскальзывания?
Если так, то у меня получаются дифференциальные уравнения, которые решать то, в общем, не надо.
Сразу получается интеграл движения

[Xey]

wrest в сообщении #1270688 писал(а):

Его можно опустить?

Толчок линейно сдвинул тележку (и оси), а колеса не повернулись.

[wrest]

(Xey)

Xey в сообщении #1270703 писал(а):

Толчок линейно сдвинул тележку (и оси), а колеса не повернулись.

Да, это понятно если явно об этом писать. Но если слово из условий убрать, ничего же не изменится, ибо написано "Колеса в начальный момент времени не крутятся." а если не убирать, то надо гадать зачем надо было разгонять тележку именно толчком, когда можно было плавно разогнать её с заблокированными тормозом колесами, а в начальный момент времени тормоз отпустить. Просто вот толчки, удары и т.п., в связке с вращением -- скользкая штука :)
Ну короче, вопрос несущественный.

[pogulyat_vyshel]

Ну я и не говорю, что задача сложная. Да там действительно получается система линейных дифференциальных уравнений, которая интегрируется. Но то, что здесь выше написано про эту систему , выглядит странно

[fred1996]

pogulyat_vyshel
Мне кажется, эта задача опять из тай серии про белого бычка, которую мы уже тут неоднократно, и даже с вашей помощью обсуждали.
Опять имеем закон сохранения момента количества движения относитьельно любой оси на плоскости, перпендикулярной движению тележки.
Он записывается в виде : $(Mh+2m)v=(Mh+3m)v'$
Здесь надо учитывать высоту ЦТ платформы. $h$
Причем опять функциональая зависимость трения от чего угодно на результат не влияет.
Грубо говоря разгон вращения колес всегда пропорционален замедлению тележки с колесами.
В чем прикол? Или я опять что-то упустил?

[AnatolyBa]

Да, действительно, характер трения не важен, это я глупо спросил.
Но у меня никакой зависимости от $h$ нет
(а у вас что-то с размерностью)

[pogulyat_vyshel]

Характер трения важен, что очевидно из ответа.
Не сужая общности можно считать, что $v=1,\quad k_1=1,\quad m=1$.
Тогда финальная скорость платформы равна

$$\frac{2+M}{3+M},\quad\mbox{при}\quad k_2> 0;$$

и

$$\frac{4+2M}{5+2M},\quad\mbox{при}\quad k_2= 0.$$

[AnatolyBa]

Ну да, случай нулевого трения в одном из колес я не рассматривал.
Но если трение ненулевое, то у меня получилась первая формула - при любом законе трения

$$(M+2m)\dfrac{d v}{d t}=-f_{\text{тр}1}-f_{\text{тр}2}$$

$$\frac{1}{2}m r^2 \dfrac{d \omega_{1,2}}{d t}=r f_{\text{тр}1,2}$$

$$(M+2m)v+\frac{1}{2}m r (\omega_{1}+\omega_{2})=\operatorname{const} $$

Как-то так

[fred1996]

pogulyat_vyshel
Это вы так ловко замаскировали условие. :)
Мол надо вычислить скорость при $t\to\infty$, а не когда исчезнет проскальзывание.
Ну тогда уж надо еще вставить решение, когда оба к-та трения равны нулю.

[Skeptic]

В конце концов ($t\to\infty$) при наличии трения платформа остановится.

[fred1996]

Skeptic
У нас по условию трение качения равно нулю.

[Skeptic]

fred1996 в сообщении #1271078 писал(а):

Skeptic
У нас по условию трение качения равно нулю.

pogulyat_vyshel в сообщении #1270676 писал(а):

Коэффициенты линейно вязкого трения между каждым колесом и плоскостью равны соответственно $k_1,k_2$.

Разве это трение не остановит тележку?