Вычислить интеграл от (1+x^2)^(3/2)

[Anastacia]

Все осилила, а вот этот номерок что-то не по зубам оказался...

$\int \frac {dx}{\sqrt{(1+x^2)^3}}$

По идее там идет замена $1+x^2=t^2*x^2$
отсюда выражается х и все заменяется в дроби на т
но проблема.. что там под дифференциалом должно быть? у меня какое-то левое выражение выходит и точно неправильное...

[ewert]

Стандартных замен тут две -- либо икс равен тангенсу тэ, либо гиперболическому синусу.

[RIP]

Anastacia писал(а):

что там под дифференциалом должно быть? у меня какое-то левое выражение выходит и точно неправильное...

А что у Вас получается? Напишите сюда; если что — Вас поправят.

[Someone]

Anastacia писал(а):

но проблема.. что там под дифференциалом должно быть? у меня какое-то левое выражение выходит и точно неправильное...

Выразите $x$ через $t$ и продифференцируйте.

Но эта подстановка не очень удачна, Вам придётся отдельно рассматривать случаи $x>0$ и $x<0$, считая в первом случае $t>0$, а во втором - $t<0$ ($t=\frac{\sqrt{1+x^2}}x$).
Более удачной является подстановка $t=\frac x{\sqrt{1+x^2}}$ (это частный случай подстановки Абеля $t=\left(\sqrt{ax^2+bx+c}\right)'$, которая применяется в интегралах $\int\frac{dx}{\left(ax^2+bx+c\right)^{n+\frac 12}}$ при $a\neq 0$, $b^2\neq 4ac$ и целом $n\geq 1$).

[Anastacia]

ewert писал(а):

Стандартных замен тут две -- либо икс равен тангенсу тэ, либо гиперболическому синусу.

то, что я хотела применить в учебнике называется "интегрирование дифференциального бинома"

Добавлено спустя 14 минут 48 секунд:

RIP писал(а):

Anastacia писал(а):

что там под дифференциалом должно быть? у меня какое-то левое выражение выходит и точно неправильное...

А что у Вас получается? Напишите сюда; если что — Вас поправят.

$1+x^2=x^2t^2$
$x=\sqrt {\frac {1}{(t^2-1)}}$
$dx=-t*\sqrt \frac{1}{(t^2-1)^3}}dt$
вроде так...

Добавлено спустя 1 минуту 34 секунды:

Someone писал(а):

Anastacia писал(а):

но проблема.. что там под дифференциалом должно быть? у меня какое-то левое выражение выходит и точно неправильное...

Выразите $x$ через $t$ и продифференцируйте.

Но эта подстановка не очень удачна, Вам придётся отдельно рассматривать случаи $x>0$ и $x<0$, считая в первом случае $t>0$, а во втором - $t<0$ ($t=\frac{\sqrt{1+x^2}}x$).
Более удачной является подстановка $t=\frac x{\sqrt{1+x^2}}$ (это частный случай подстановки Абеля $t=\left(\sqrt{ax^2+bx+c}\right)'$, которая применяется в интегралах $\int\frac{dx}{\left(ax^2+bx+c\right)^{n+\frac 12}}$ при $a\neq 0$, $b^2\neq 4ac$ и целом $n\geq 1$).

а как сделать замену с иксом в числителе, если в исходном интеграле его нету?

[Narn]

Anastacia писал(а):

Someone писал(а):

Более удачной является подстановка $t=\frac x{\sqrt{1+x^2}}$ (это частный случай подстановки Абеля $t=\left(\sqrt{ax^2+bx+c}\right)'$, которая применяется в интегралах $\int\frac{dx}{\left(ax^2+bx+c\right)^{n+\frac 12}}$ при $a\neq 0$, $b^2\neq 4ac$ и целом $n\geq 1$).

а как сделать замену с иксом в числителе, если в исходном интеграле его нету?

Найдите $dt$.

[Anastacia]

Получается, по-моему, вообще интеграл от dt...

[Narn]

Anastacia писал(а):

Получается, по-моему, вообще интеграл от dt...

...который равен ? Видите, какую вам Someone замечательную подстановку указал.

[Anastacia]

Интеграл получается равен t, значит ответ $\frac {x}{\sqrt{1+x^2}}$
Спасибо большое