Теоремы о разности квадратов двух целых чисел

[Svetlow]

provincialka в сообщении #1268661 писал(а):

Что меня умиляет, большое число участников говорят ТС "ваши формулы известны давно и большому числу людей", а он все спорит... Причем и записал-то он факты криво! зачем так много случаев?

Первое: участники говорят, что мои формулы известны, но никто не может их привести или указать источник информации, в котором они приведены в таком же виде, как и у меня. В противном случае это пустые разговоры. Уговаривают меня, чтобы я поверил им но слово.
Смешно!
Второе: как видно из приведенных теорем объединить их в одну невозможно, если соблюсти все условия (все возможные случаи значений нечетных и четных целых чисел), указанные в них.
Кстати: известная формула Евклида является частным случаем моей первой теоремы.

-- 24.11.2017, 18:43 --

wrest в сообщении #1268658 писал(а):

Поясняю. Допустим есть число $35728=2^4\cdot7^1\cdot11^2$
Для него $k=4;n=4+1+2=7;m=(4+1)\cdot(1+1)\cdot(2+1)=30$ Пусть $t$ - количество пар чисел $a$ и $b$ таких, что $a^2-b^2=c$.
Чему равно $t$? Если выведете формулу для $t$, будет вам еще одна теорема ;)

А зачем мне все это надо?

[Xaositect]

Svetlow в сообщении #1268687 писал(а):

Второе: как видно из приведенных теорем объединить их в одну невозможно, если соблюсти все условия (все возможные случаи значений нечетных и четных целых чисел), указанные в них.

Вам уже привели такую общую формулировку - если остаток от деления целого числа $n$ на 4 не равен 2, то существует представление $n = a^2 - b^2$ с целыми $a,b$.

[Svetlow]

Xaositect в сообщении #1268691 писал(а):

Svetlow в сообщении #1268687 писал(а):

Второе: как видно из приведенных теорем объединить их в одну невозможно, если соблюсти все условия (все возможные случаи значений нечетных и четных целых чисел), указанные в них.

Вам уже привели такую общую формулировку - если остаток от деления целого числа $n$ на 4 не равен 2, то существует представление $n = a^2 - b^2$ с целыми $a,b$.

Во-первых, остаток от деления какого числа: нечетного или четного?
Во-вторых, если Вы имеете ввиду нечетные числа, то в моей первой теореме сказано, что любое нечетное целое число $N>1$ равно разности квадратов минимум одной пары целых чисел.
$3=2^2-1^2$
И так далее.
В Серпинского, на которого здесь ссылаются, моих формул нет.
Проверено.

[grizzly]

Svetlow
Найдите книгу: Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. "Ленинградские математические кружки". Там приведена задача для школьников 6-го (шестого!) класса: "найти все представления числа 303 в виде разности квадратов двух целых натуральных чисел". Чтобы Вы понимали насколько это просто, я добавлю только, что данной задаче присвоен уровень сложности 2 (два!) по десятибалльной шкале.

Неужели Вы думаете, что математически одарённые шестиклассники запишут формулы так же коряво, как Вы? Очень сомнительно. Поэтому ссылок на в точности Ваши формулы я дать не могу. Это нужно поспрашивать учителей средних классов, у которых могут храниться тетради средненьких учеников.

[Svetlow]

grizzly в сообщении #1268698 писал(а):

Там приведена задача для школьников 6-го (шестого!) класса: "найти все представления числа 303 в виде разности квадратов двух целых чисел".

Число$303$ имеет только два представления в виде разности квадратов двух чисел:
$303=152^2-151^2$
$303=52^2-49^2$
Все это определяется по формуле Евклида, являющейся частным случаем моей первой теоремы.
Шестиклассники эту формулу, видимо, знают.

[wrest]

Svetlow в сообщении #1268687 писал(а):

А зачем мне все это надо?

Ну это к вам вопрос.

[grizzly]

Svetlow в сообщении #1268701 писал(а):

Число$303$ имеет только два представления в виде разности квадратов двух чисел:
$303=152^2-151^2$
$303=52^2-49^2$
Все это определяется по формуле Евклида, являющейся частным случаем моей первой теоремы.

Это не решение. На олимпиаде шестикласснику за такое решение дадут только утешительные баллы. Доказывайте, что других представлений быть не может.

-- 24.11.2017, 19:33 --

Или найдите другие, если не сможете доказать, что их нет.

[Svetlow]

grizzly в сообщении #1268705 писал(а):

Svetlow в сообщении #1268701 писал(а):

Число$303$ имеет только два представления в виде разности квадратов двух чисел:
$303=152^2-151^2$
$303=52^2-49^2$
Все это определяется по формуле Евклида, являющейся частным случаем моей первой теоремы.

Это не решение. На олимпиаде шестикласснику за такое решение дадут только утешительные баллы. Доказывайте, что других представлений быть не может.

-- 24.11.2017, 19:33 --

Или найдите другие, если не сможете доказать, что их нет.

Есть еще два:
$303=52^2-(-49)^2$
$303=152^2-(-151)^2$
В этом, видимо и заморочка задачи для школьников.

[grizzly]

Svetlow
Там спрашивали представление в натуральных числах. Но это не принципиально. Хотите в целых -- пожалуйста. Но нужно найти все и доказать, что других нет.

Вы, конечно, не согласитесь поверить мне на слово, но школьники намного лучше Вас понимают, что значит задание "найти все решения".

[Svetlow]

grizzly в сообщении #1268710 писал(а):

Svetlow
Там спрашивали представление в натуральных числах. Но это не принципиально. Хотите в целых -- пожалуйста. Но нужно найти все и доказать, что других нет.

Вы, конечно, не согласитесь поверить мне на слово, но школьники намного лучше Вас понимают, что значит задание "найти все решения".

Если я не ошибаюсь, натуральные числа - это целые положительные числа.
Тогда решений только два.

[grizzly]

Svetlow в сообщении #1268713 писал(а):

Тогда решений только два.

См. это сообщение.

[Xaositect]

Svetlow в сообщении #1268697 писал(а):

Xaositect в сообщении #1268691 писал(а):

Svetlow в сообщении #1268687 писал(а):

Второе: как видно из приведенных теорем объединить их в одну невозможно, если соблюсти все условия (все возможные случаи значений нечетных и четных целых чисел), указанные в них.

Вам уже привели такую общую формулировку - если остаток от деления целого числа $n$ на 4 не равен 2, то существует представление $n = a^2 - b^2$ с целыми $a,b$.

Во-первых, остаток от деления какого числа: нечетного или четного?
Во-вторых, если Вы имеете ввиду нечетные числа, то в моей первой теореме сказано, что любое нечетное целое число $N>1$ равно разности квадратов минимум одной пары целых чисел.

Теорема верна для произвольного числа. Если оно имеет остаток, не равный 2 (то есть нечетно или делится на 4) - то разложения есть. Если нет (то есть четно, но не делится на 4) - то нет.

Цитата:

$3=2^2-1^2$
И так далее.
В Серпинского, на которого здесь ссылаются, моих формул нет.
Проверено.

Ваши формулы получаются из формулы $n = cd \Leftrightarrow n = \left(\frac{c + d}{2}\right)^2 - \left(\frac{c - d}{2}\right)^2$ в одно действие.

[Svetlow]

Xaositect в сообщении #1268721 писал(а):

Ваши формулы получаются из формулы $n = cd \Leftrightarrow n = \left(\frac{c + d}{2}\right)^2 - \left(\frac{c - d}{2}\right)^2$ в одно действие.

Все наоборот.
Эти формулы получаются из моих формул.
При этом эти формулы справедливы только дли нечетных чисел, и по этим формулам определяются только тройки взаимно простых чисел. А составные нечетные целые числа равны разности квадратов нескольких пар целых чисел, многие из которых имеют общие делители с заданным числом.
Что-то Вы избегаете примеров с числами, возведенными в степени.
А мои теоремы большей частью касаются как раз чисел, возведенных в любые, бесконечно большие степени: четные и нечетные.

[Xaositect]

Svetlow в сообщении #1268744 писал(а):

Эти формулы получаются из моих формул.

Эти формулы следуют из школьных формул сокращенного умножения, никакие ваши формулы для них не нужны.

Svetlow в сообщении #1268744 писал(а):

При этом эти формулы справедливы только дли нечетных чисел

Нет, например, возьмем четное $8 = 4 \cdot 2$ и по этой формуле получим $8 = 3^2 - 1^2$.

Svetlow в сообщении #1268744 писал(а):

и по этим формулам определяются только только тройки взаимно простых чисел.

Нет, например, возьмем $75 = 15 \cdot 5$, и по этой формуле получим $75 = 10^2 - 5^2$.

[Brukvalub]

Svetlow в сообщении #1268744 писал(а):

А мои теоремы большей частью касаются как раз чисел, возведенных в любые, бесконечно большие степени: четные и нечетные.

Приведите примеры бесконечно больших четных и нечетных степеней.