Поля скорости и ускорения. Механика сплошных сред

[Charlz_Klug]

Задача:
Найти поля скорости и ускорения в лагранжевом и эйлеровом описаниях, если движение среды происходит по закону
а) трёхосное растяжение тела:
$x_1 = a(t) \xi_1$, $x_2 = b(t) \xi_2$, $x_3 = c(t) \xi_3$

В ответах дано следующее:
В эйлеровом описании поля скорости $\upsilon$ и ускорения $a$ имеют следующий вид (точка обозначает производную по времени):
а) $\upsilon_{i} = \dot a \frac {x_i} {a}$, $a_{i} = \ddot a \frac {x_{i}} {a}$, $i = 1, 2, 3$.

Мои размышления:
$\xi_1$, $\xi_2$, $\xi_3$ — это лагранжевы координаты. То есть выражения $x_1 = a(t) \xi_1$, $x_2 = b(t) \xi_2$, $x_3 = c(t) \xi_3$ определяют эйлеровы координаты отдельно взятой точки в отдельно взятый момент времени. Тогда скорость этой отдельной точки будет $\upsilon_1 = \dot x_1 = \dot {a(t)} \xi_1$, $\upsilon_2 = \dot x_2 = \dot {b(t)} \xi_2$, $\upsilon_3 = \dot x_3 = \dot {c(t)} \xi_3$, дифференцирую по $t$. Разве не так?

[alhimikoff]

Механик я не важный, но вроде так
В момент t через точку $x$ проходит частица с начальными координатами $\xi=x/a$
Зафиксируем эти координаты и определим какую скорость и ускорение она достигнет за время t.
$v=\xi\cdot\dot{a}=\frac{x\cdot\dot{a}}{a}

[Pphantom]

Charlz_Klug в сообщении #1268395 писал(а):

Найти поля скорости и ускорения в лагранжевом и эйлеровом описаниях, если движение среды происходит по закону
а) трёхосное растяжение тела:
$x_1 = a(t) \xi_1$, $x_2 = b(t) \xi_2$, $x_3 = c(t) \xi_3$

В ответах дано следующее:
В эйлеровом описании поля скорости $\upsilon$ и ускорения $a$ имеют следующий вид (точка обозначает производную по времени):
а) $\upsilon_{i} = \dot a \frac {x_i} {a}$, $a_{i} = \ddot a \frac {x_{i}} {a}$, $i = 1, 2, 3$.

Если Вы точно процитировали и условие, и ответ, то, скорее всего, это просто следствие неаккуратного использования обозначений автором задачника. Для первой координаты все верно, а дальше автор забыл, что использовал обозначения $b$ и $c$. И поскольку он точно сподобился обозначить одной и той же буквой $a$ две разных величины сразу, это объяснение кажется весьма правдоподобным.

Charlz_Klug в сообщении #1268395 писал(а):

Разве не так?

Так.

[Charlz_Klug]

Pphantom, и ответ и условие я процитировал точно.

[Pphantom]

Charlz_Klug в сообщении #1268451 писал(а):

Pphantom, и ответ и условие я процитировал точно.

Тогда это просто ошибка автора задачника.

[Charlz_Klug]

alhimikoff, вроде понял: если требуется выяснить скорость через эйлеровы координаты, то всю формулу скорости надо выразить через эйлеровы координаты. Тогда мы с помощью $\xi_1 = x_1 / a(t)$, $\xi_2 = x_2 / b(t)$, $\xi_3 = x_3 / c(t)$, где $t, x_1, x_2, x_3$ — фиксированные координаты, выражаем искомую частицу. После этого, пользуясь выражением $\upsilon = \dot x$ выражаем скорости как $\upsilon_1 = \dot a(t) \frac {x_1} {a(t)}, \upsilon_2 = \dot b(t) \frac {x_2} {b(t)}, \upsilon_3 = \dot c(t) \frac {x_3} {c(t)}$?

-- 24.11.2017, 01:02 --

Pphantom, понятно, спасибо!