2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.
 
 Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение23.11.2017, 17:19 
Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Первая теорема:

Любое нечетное целое число $N>1$ в степени $1, 2, 3, 4,\cdot\cdot\cdot$ равно разности квадратов одной пары или нескольких пар целых чисел.
Вторая теорема:
Любое четное целое число, кратное $2^k, в степени $1, 2, 3, 4,\cdot\cdot\cdot$ равно разности квадратов одной пары или нескольких пар целых чисел.
Третья теорема:
Любое четное целое число, кратное $2$, в степени $2, 3, 4, 5\cdot\cdot\cdot$ равно разности квадратов одной пары или нескольких пар целых чисел.
Общие формулы:
Исходная формула:
$a^n=b^2-c^2$ (1)
Числа $b, c$ равны:
$b=\frac{a^n+d^2}{2d}$ (2)
$c=\frac{a^n-d^2}{2d}$ (3)
Здесь $d$ –делитель числа $a^n$ одинаковой с ним четности.

Примечание: количество пар целых чисел для каждого заданного целого числа зависит от состава этого числа. Например, число $51051$, равное произведению чисел $3, 7, 11, 13, 17$, равно разности квадратов порядка $40$ пар целых чисел, при этом порядка $10$ пар содержат числа $b, c$ взаимно простые между собой и с числом $a$.

 
 
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение23.11.2017, 17:24 
Аватара пользователя
И чего? Какие числа представимы в виде разности квадратов -- всем известно легко обнаружить. Зачем нужно столько "теорем"?

 
 
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение23.11.2017, 18:10 
provincialka в сообщении #1268376 писал(а):
И чего? Какие числа представимы в виде разности квадратов -- всем известно легко обнаружить. Зачем нужно столько "теорем"?

В математике не обнаруживают вслепую, а устанавливают закономерности.
Укажите, пожалуйста, ссылку на всем известные формулы или методики выполнения расчетов, приведенных мною.
Если я не ошибаюсь, известна только формула Евклида.

 
 
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение23.11.2017, 18:21 
Аватара пользователя
(первый результат google по запросу "какие числа представимы в виде разности двух квадратов")
Легко доказать, что для того, чтобы натуральное число $n>1$ было разностью двух квадратов натуральных чисел, необходимо и достаточно, чтобы оно при делении на $4$ не давало в остатке $2$.

 
 
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение23.11.2017, 18:30 
mihaild в сообщении #1268388 писал(а):
(первый результат google по запросу "какие числа представимы в виде разности двух квадратов")
Легко доказать, что для того, чтобы натуральное число $n>1$ было разностью двух квадратов натуральных чисел, необходимо и достаточно, чтобы оно при делении на $4$ не давало в остатке $2$.

Ну, и что? Где это "легкое доказательство"?
Как быть с нечетными числами? Они на $4$ не делятся.

 
 
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение23.11.2017, 18:32 
Svetlow в сообщении #1268375 писал(а):
равно разности квадратов одной пары или нескольких пар целых чисел.

А что значит "разность квадратов нескольких пар чисел".
Допустим есть две пары целых чисел: первая $(a_1,b_1)$ и вторая $(a_2,b_2)$ Чему равна разность квадратов этих двух пар чисел?

 
 
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение23.11.2017, 18:34 
Аватара пользователя
Svetlow в сообщении #1268391 писал(а):
Ну, и что? Где это "легкое доказательство"?
Самостоятельные попытки решения?
Svetlow в сообщении #1268391 писал(а):
Как быть с нечетными числами?
Упражнение: найти все нечетные числа, дающие $2$ в остатке при делении на $4$.

 
 
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение23.11.2017, 18:42 
wrest в сообщении #1268392 писал(а):
Svetlow в сообщении #1268375 писал(а):
равно разности квадратов одной пары или нескольких пар целых чисел.

А что значит "разность квадратов нескольких пар чисел".
Допустим есть две пары целых чисел: первая $(a_1,b_1)$ и вторая $(a_2,b_2)$ Чему равна разность квадратов этих двух пар чисел?


$35^3=870^2-845^2$
$35^3=462^2-413^2$
$35^3=21438^2-21437^2$

 
 
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение23.11.2017, 18:56 
Svetlow
А, понятно. А то я подумал, что надо брать несколько пар, вычислять разность квадратов и потом еще вычитать получившиеся разности друг из друга и так по сорок раз...

 
 
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение23.11.2017, 19:05 
mihaild в сообщении #1268393 писал(а):
Svetlow в сообщении #1268391 писал(а):
Ну, и что? Где это "легкое доказательство"?
Самостоятельные попытки решения?
Svetlow в сообщении #1268391 писал(а):
Как быть с нечетными числами?
Упражнение: найти все нечетные числа, дающие $2$ в остатке при делении на $4$.

Приведите, пожалуйста, хотя бы один пример.
То, что Вы говорите, означает делать все перебором чисел. Очень приятное занятие.
По той методике, которую я привел, расчеты делаются элементарно для любого заданного числа.
При этом в любой степени.

 
 
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение23.11.2017, 19:17 
Аватара пользователя
Svetlow в сообщении #1268407 писал(а):
Приведите, пожалуйста, хотя бы один пример.
Пример чего?
Svetlow в сообщении #1268407 писал(а):
То, что Вы говорите, означает делать все перебором чисел
Нет, то что я говорю не "означает делать" что-то. Это просто утверждение о том, какие именно числа представимы в виде $n^2 - m^2$.

В чем ваш результат-то состоит? Что "в любой степени"?
Решения уравнения $n^2 - m^2 = a$ относительно $n, m$? Какое-то или все?

 
 
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение23.11.2017, 19:21 
Аватара пользователя
Svetlow
Не спешите ругаться. Посмотрите упомянутую книгу и доказательства в ней. Ведь всё гуглится не отходя от стула.
Svetlow в сообщении #1268375 писал(а):
Примечание: количество пар целых чисел для каждого заданного целого числа зависит от состава этого числа.
Вот здесь было бы интересно услышать подробности. В книге Серпинского сказано только (если я не ошибаюсь), что простые имеют точно одно разложение в виде разности квадратов целых чисел, а составные нечётные -- больше одного. Но вот насколько больше и как это зависит от состава числа -- достаточно интересно. У Вас есть какой-то ответ на этот вопрос? Или только то, что сказано в книге?

 
 
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение23.11.2017, 19:36 
grizzly в сообщении #1268414 писал(а):
Svetlow
Не спешите ругаться. Посмотрите упомянутую книгу и доказательства в ней. Ведь всё гуглится не отходя от стула.
Svetlow в сообщении #1268375 писал(а):
Примечание: количество пар целых чисел для каждого заданного целого числа зависит от состава этого числа.
Вот здесь было бы интересно услышать подробности. В книге Серпинского сказано только (если я не ошибаюсь), что простые имеют точно одно разложение в виде разности квадратов целых чисел, а составные упомянутого вида -- больше одного. Но вот насколько больше и как это зависит от состава числа -- достаточно интересно. У Вас есть какой-то ответ на этот вопрос? Или только то, что сказано в книге?

$51051=1510^2-1493^2$
$51051=1970^2-1957^2$
$51051=2326^2-2315^2$
$51051=3650^2-3643^2$
$51051=8510^2-8507^2$
И так далее. Около $40$ пар.
Расчеты ведутся по приведенным формулам.
Должно выполняться единственное условие: $d^2<a^n$

 
 
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение23.11.2017, 19:37 
Аватара пользователя
Svetlow в сообщении #1268422 писал(а):
И так далее. Около $40$ пар.
Это я уже слышал. Вопрос: почему около 40, а не около 30 или около 50? Как это зависит от состава числа?

 
 
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение23.11.2017, 19:48 
Аватара пользователя
Вообще-то, из формулы суммы последовательных нечётных чисел от $1$ до $2k+1$ сразу следует Теорема 1 :?:

 
 
 [ Сообщений: 92 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group