Количество корней уравнения

[Vlad.chrniy]

Для каждого значения $a $ найти количество действительных корней уравнения
$a^x=\log_a{x}$
При решении подобных задач представляю уравнение в виде $f(x)=a$, нахожу экстремумы функции и, в зависимости от положения прямой $y=a$, определяю количество пересечений прямой с графиком.
В данном примере это сделать не получается, других идей нету...

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[demolishka]

Пусть $a>1$. Как выглядят графики показательной и логарифмической функции? Что будет происходить с картинкой если $a$ будет близко к единице справа и что будет, если $a$ очень большое?

[arseniiv]

Ещё можно углядеть, например, такую вещь: если $x$ — решение уравнения $x = a^x$ — или, эквивалентно, $x = \log_ax$ — то оно, что сразу отсюда и видно, так же и решение исходного. Поможет с нижней границей?

[mihailm]

Это известная задача, есть например в факультативном Шарыгине 11 кл

[Pphantom]

А еще можно объдинить два предыдущих совета и предложить подумать, как выглядят графики функций $y=\log_a x$ и $y=a^x$ на одной картинке. Получится более сильное утверждение, чем предложил arseniiv.

P.S. Теперь уже не совсем предыдущих (совет про Шарыгина не в счет).

[Vlad.chrniy]

При $a>1$ решениями исходного уравнения будут решения уравнения $ \frac{\ln x}{\ln a}=x$, или $a=x^{\frac{1}{x}}$.

Функция $f(x)=x^{\frac{1}{x}}$ имеет максимум в точке $x=e$, равный $e^{\frac{1}{e}}$, а также горизонтальную асимптоту $y=1$.

Поэтому при $a>e^{\frac{1}{e}}$ решений нет, при $a=e^{\frac{1}{e}}$ - одно, и при $1<a<e^{\frac{1}{e}}$ два решения.

Как теперь быть со значениями параметра из промежутка $(0;1]$ ? В учебнике сказано, что при $0<a<\frac{1}{e^e}$ исходное уравнение будет иметь три корня. Но уравнение $a=x^{\frac{1}{x}}$ при этих значениях $a$ имеет только один корень. Откуда берутся еще два?

[Markiyan Hirnyk]

Уравнение $a^x=\log_ax$ не эквивалентно уравнению $\frac {\ln x}{\ln a}=x$, если $0<a,\,a<1.$ При $a= \frac 1 {2e^e}$ исходное уравнение имеет три корня. Их значения приближенно равны $0.065065984635739629274,\,0.327349081076175128702,\,0.80094100405876900898.$

[Vlad.chrniy]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1267737 писал(а):

Уравнение $a^x=\log_ax$ не эквивалентно уравнению $\frac {\ln x}{\ln a}=x$, если $0<a,\,a<1.$

Это я уже понял. Теперь хотелось бы разобраться, как найти количество корней при значениях $a$ из промежутка $(0;1)$.

[Markiyan Hirnyk]

Поискал в Яндексе и нашел это. Успехов! Я ложусь спать.

[Vlad.chrniy]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1268162 писал(а):

Поискал в Яндексе и нашел это.

Там решение только для $a>1$.

[Lia]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1268162 писал(а):

Поискал в Яндексе и нашел это.

Поискать в Яндексе - это очень нестандартное, хоть и весьма современное, толкование указания "найти решение".
И больше так никогда не делайте. Это ПРР. Что задача эта известная и в некотором роде классическая, знает полфорума. Половина от этой половины знает наверняка, где можно прочитать ее решение, и выше были указания, "где можно найти".

Markiyan Hirnyk Замечание за размещение ссылки, содержащей решение учебной задачи, не важно верное или нет, в ПРР.

Спокойной ночи. :)

[Vlad.chrniy]

mihailm в сообщении #1267723 писал(а):

Это известная задача, есть например в факультативном Шарыгине 11 кл

Можете страницу и номер задачи сказать? Никак не могу ее найти.

[mihailm]

165 задача из главы элементы мат анализа.