2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнения больших и малых кругов на сфере
Сообщение27.01.2010, 18:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21584
Уфа
Сразу скажу, что нигде я их не нашёл, а мне бы понадобились.

Допустим, наша сфера единичная и находится в начале координат (${\bf{r}}^2 = 1$). Тогда для большого круга получим: $({\bf{ri}})^2 + ({\bf{rj}})^2 = 1$, где $\bf{i}$ и $\bf{j}$ составляют ортонормированный базис плоскости, в которой круг лежит. Теперь выберем две точки на этом большом круге, $M$ и $N$, и получим из них эти векторы так: ${\bf{i}} := \overrightarrow{OM}$, ${\bf{j}} := \operatorname{sgn}\left({\overrightarrow{ON} - ({\bf{i}}\overrightarrow{ON}){\bf{i}}}\right)$. В результате для уравнения $F(\varphi,\;\theta) = 0$ у нас всё готово, но ни я, ни Mathematica не можем преобразовать полученное нормально и за хорошее время. Может, есть готовые формулы? А то мне хотелось ещё разобраться и с малыми кругами.

-- Ср янв 27, 2010 22:21:17 --

"Нормирование" вектора я обозначил $\operatorname{sgn} x$, т.к. почти то же самое, по сути: $x/\left| x \right|$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения больших и малых кругов на сфере
Сообщение27.01.2010, 19:50 
Заблокирован по собственному желанию


13/12/05

3475
Пусть точка $\mathbf{x}=(\cos\varphi\cos\vartheta,\cos\varphi\sin\vartheta,\sin\varphi )$ лежит на большом круге. Уравнение этого круга в координатах $(\varphi,\vartheta)$ можно записать в виде $(\mathbf{x},\mathbf{n})=0$, где $\mathbf{n}=[\mathbf{i},\mathbf{j}]$ - нормаль к большому кругу.

Для малых кругов получим уравнение $(\mathbf{x},\mathbf{n})=\cos\alpha$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения больших и малых кругов на сфере
Сообщение27.01.2010, 20:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21584
Уфа
О! Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения больших и малых кругов на сфере
Сообщение22.11.2017, 01:57 


19/11/17
10
arseniiv
Padawan
а можете это пояснить, пожалуйста?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения больших и малых кругов на сфере
Сообщение22.11.2017, 02:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21584
Уфа
Ну а чего тут, собственно, пояснять: любая лежащая на сфере окружность — это пересечение её с некоторой плоскостью, которую можно задать уравнением $(\mathbf x,\mathbf n) = a$ для некоторых $\mathbf n$ и $a$. Вместо плоскости можно взять конус с вершиной в центре сферы; его уравнение будет похожим и может дать некоторое дополнительное понимание ситуации.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения больших и малых кругов на сфере
Сообщение22.11.2017, 02:24 


19/11/17
10
arseniiv
да это я понял, (x, n) - скалярное произведение Вы так обозначаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения больших и малых кругов на сфере
Сообщение22.11.2017, 03:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21584
Уфа
Угу. А что осталось неясным?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения больших и малых кругов на сфере
Сообщение22.11.2017, 03:23 


19/11/17
10
arseniiv
Разве радиус-вектор точки и нормаль к большой окружности лежат не на одной прямой? Почему скалярное 0?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения больших и малых кругов на сфере
Сообщение22.11.2017, 03:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21584
Уфа
Нет, не на одной, т. к. имеется в виду нормаль к плоскости, содержащей окружность, а не к самой окружности в каких-то её точках (тем более что тогда она бы зависела от точки :wink: а тут она фиксирована).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения больших и малых кругов на сфере
Сообщение22.11.2017, 03:39 


19/11/17
10
arseniiv
Понял, спасибо :)
А какого-то общего аналитического вида, я так подозреваю, нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения больших и малых кругов на сфере
Сообщение22.11.2017, 12:10 


11/07/16
336
См. формулу (19) здесь для уравнения большого круга в сферических координатах (от $u,v$ надо перейти к $\lambda, \varphi$ по формулам (6) и (7)).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения больших и малых кругов на сфере
Сообщение22.11.2017, 14:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21584
Уфа

(Оффтоп)

sasha_alesin в сообщении #1267784 писал(а):
А какого-то общего аналитического вида, я так подозреваю, нет?
Если подразумевается «координатного», то это ведь от координат зависит. :-) А тут штука была бескоординатная — мне семь лет назад почему-то нужна была именно такая, кажется. Ну, сейчас уже не помню.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения больших и малых кругов на сфере
Сообщение22.11.2017, 20:39 


19/11/17
10
Markiyan Hirnyk
Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group