сингулярное разложение преобразования

[ShMaxG]

Дано преобразование, заданное в ортонормированном базисе матрицей

\[ \left( {\begin{array}{*{20}c} {\sqrt 2 } & 1 \\ 0 & {\sqrt 2 } \\ \end{array} } \right) \]

Получить сингулярное разложение этого преобразования.

Что такое сингулярное разложение знаю, но не знаю последовательность действий, чтобы придти к разложению.

[Бодигрим]

Вы ищете разложение в виде $A=USV$, где $S$ - диагональная матрица из квадратных корней собственных чисел $AA^T$, верно? Или сингулярное разложение - это что-то другое?

Я бы начал с определения вида матрицы $S$.

[ewert]

Бодигрим писал(а):

Вы ищете разложение в виде $A=USV$, где $S$ - диагональная матрица из квадратных корней собственных чисел $AA^T$, верно? Или сингулярное разложение - это что-то другое?

Именно это. И более того: столбцы $U$ суть ортонормированные собственные вектора матрицы $AA^T$, в то время как строки $V$ -- это ортонормированный собственный базис для $A^TA$.

Вот, собственно, и алгоритм.

[Бодигрим]

Ну, вот вам уже все и рассказали. Думаю, с нахождением собственных векторов и чисел проблем нет?

[ShMaxG]

Так, значит нужно найти собственные векторы

\[AA^T \]

, ортонормировать и записать в столбцы - получим U, а корни квадратные из собственных чисел записать на диагональ и получим S.Затем найти собственные векторы

\[A^T A\]

, ортонормировать и записать в строки - получим V.

[ewert]

ShMaxG писал(а):

Так, значит нужно найти собственные векторы

\[AA^T \]

, ортонормировать и записать в столбцы - получим U, а корни квадратные из собственных чисел записать на диагональ и получим S.Затем найти собственные векторы

\[A^T A\]

, ортонормировать и записать в строки - получим V.

Не совсем так. Выбор ортонормированного собственного базиса всё же неоднозначен. Надо найти одну из матриц -- $U$ или $V$ -- а вторую найти просто делением $A$ на всё остальное.

[ShMaxG]

ewert писал(а):

делением $A$ на всё остальное.

что это значит?

[Бодигрим]

Вы решаете матричное уравнение $A=USV$ относительно $V$ при уже определенных $U$ и $S$, а $A$ - известно по условию.

Добавлено спустя 2 минуты 7 секунд:

Вы находите _произвольную_ систему ортонормированных собственных векторов, составляете из них матрицу $U$. Затем записываете в соответствующем порядке их собственные числа в матрицу $S$. Затем находите $V$, разрешая матричное уравнение.

[ShMaxG]

Во, вот теперь понятно. Спасибо, ребят. Сейчас попробую решить.

Добавлено спустя 22 минуты 15 секунд:

С ответом сошлось.

И еще вопрос, что если дана матрица А размеров

\[m \times n\]

?

[ewert]

Точно так же. Только матрицы $U$ и $V$ будут разных размеров.

[ShMaxG]

А, да, вы правы. Спасибо.

Добавлено спустя 26 минут 59 секунд:

А, вот еще вопрос.

В полярном разложении, мы приходим к

\[A = QS\]

, где Q - ортогональная матрица, S - симметричная. Правильно ли я понял, что Q мы берем такую же как и U?
И еще. Существует ортогональная матрица Р, такая что

\[D = P^{ - 1} SP\]

- диагональная матрица. Как выбирается Р?

[ewert]

ShMaxG писал(а):

В полярном разложении, мы приходим к

\[A = QS\]

, где Q - ортогональная матрица, S - симметричная. Правильно ли я понял, что Q мы берем такую же как и U?

Правильно по идее, но совершенно неправильно буквально. Сделайте ортогональное преобразование подобия матрицы $S$ (кстати, в полярном разложении она не только эрмитова, но и неотрицательная) к диагональной -- и получите ровно сингулярное разложение.

Цитата:

И еще. Существует ортогональная матрица Р, такая что

\[D = P^{ - 1} SP\]

- диагональная матрица. Как выбирается Р?

Из ортонормированных собственных столбцов (или строк -- мне всегда было лень об этом думать) матрицы $S$.