Качественные и некачественные числа

[Ktina]

Дано натуральное число. Из него вычитается самое большое простое число, не превосходящее его. С результатом снова производится такая же операция и т. д. Назовём число качественным, если из него через несколько шагов получается 1, и некачественным — если ноль. Докажите, что среди чисел от 1 до 1 000 000 качественные составляют не менее четверти, но не более половины.
(Ленинградская олимпиада)

(Читать строжайше воспрещается!)

(произносится в очень быстром темпе)
«Как я рада, как я рада, что вы все из Ленинграда!»

[Dmitriy40]

Интересно каков предел отношения количества качественных чисел к общему их числу. Пока я вижу что он $\approx 0{,}345$.

[Dmitriy40]

А может и $\lim\approx 0{,}34332$ (для чисел до 3 триллионов).
Интересно что вычисление количества качественных чисел свелось к генератору простых чисел и одному лишнему обращению в короткий массив (менее 1500 элементов) для каждого простого числа.
UPD. Хм, а похоже я не прав, в логарифмическом виде по X график почти прямая (с очень-очень незначительным замедлением спада), т.е. можно ожидать что предел где-то на бесконечности будет нулевым.

[grizzly]

Грубо говоря, каждое 14-е качественное -- вида $p+1$; $p$ и $p+2$ -- нет; $p+3$ -- редко, а $p+4$ -- почти так же часто. Дальше анализ постепенно усложняется, но нужно всего несколько шагов пройти, чтобы попасть в нужный диапазон снизу. А сверху: будут только накапливаться эти "почти", я думаю, -- нужно как-то за ними проследить в общем виде. Но лень :)

[kotenok gav]

grizzly в сообщении #1267052 писал(а):

$p+2$ -- нет

За исключением $p+2=4$.