Вычисление объёма тела

[ckunep]

помогите пожалуйста вычислить объём тела получающегося при пересечении двух цилиндров:
1) x^2 + y^2 = 9
2) y^2 + z^2 = 9

[Парджеттер]

Как Вы решали, в чем Ваша проблема?

[BugsBunny]

Чисто ради повышения эрудиции: а почему цилиндры заданы уравнениями для плоскости. Чем это не уравнения окружностей?

[Someone]

BugsBunny писал(а):

Чем это не уравнения окружностей?

Тем, что координат тут три, а не две.

[ckunep]

да я вообще не представляю как найти этот объём. учитель мне объяснил, что нужно через сечение, т.к. там образуется квадрат. Но я не знаю как уравнение составить.
П.С. вроде это уравнения для 3х мерного пространства.

[BugsBunny]

Someone писал(а):

Тем, что координат тут три, а не две.

Я так понял, что под пунктом 1) уравнение первого цилиндра, под 2) - второго...

[Парджеттер]

ckunep писал(а):

учитель мне объяснил

Вам что, в школе такую задачу дали?

ckunep писал(а):

т.к. там образуется квадрат

Что, простите, образуется?

Добавлено спустя 1 минуту 28 секунд:

BugsBunny писал(а):

Я так понял, что под пунктом 1) уравнение первого цилиндра, под 2) - второго...

Так оно так и есть.
Просто в уравнении 1) подразумевается, что координата $z$ - любая, а в 2), что координата $x$ - любая.

[BugsBunny]

Парджеттер писал(а):

Так оно так и есть.
Просто в уравнении 1) подразумевается, что координата $z$ - любая, а в 2), что координата $x$ - любая.

Ааа, ясно, спасибо.

[ewert]

Парджеттер писал(а):

Вам что, в школе такую задачу дали?

ckunep писал(а):

т.к. там образуется квадрат

Что, простите, образуется?

Ну, квадрат и образуется (в плоскостях, параллельных обоим цилиндрам). Так его ж ещё и проинтегрировать надобно...

[Батороев]

Парджеттер писал(а):

BugsBunny писал(а):

Я так понял, что под пунктом 1) уравнение первого цилиндра, под 2) - второго...

Так оно так и есть.
Просто в уравнении 1) подразумевается, что координата $z$ - любая, а в 2), что координата $x$ - любая.

Я правильно понял, что проекции первого цилиндра на $XOY$ и второго - на $YOZ$ - окружности диаметра $3$ с центром в $0$?

Если это верно, то выбрав на одном из цилиндров точку на оси, необходимо "распилить" через эту точку цилиндр двумя резами под углом $45^0$ к оси (т.е. резы взаимно перпендикулярны).
Каждый из обоих выпиленных кусков будет составлять четверть искомого объема.

p.s. Если соединить четыре выпиленных куска получается довольно забавная фигура в виде подушки

[Бодигрим]

Цитата:

Вам что, в школе такую задачу дали?

Относительно элементарное решение задачи о пересечении двух цилиндров приведено у Гарднер М. — Математические досуги, с. 261-263. Так что в принципе могли и в школе дать.

[ckunep]

ewert писал(а):

Парджеттер писал(а):

Вам что, в школе такую задачу дали?

ckunep писал(а):

т.к. там образуется квадрат

Что, простите, образуется?

Ну, квадрат и образуется (в плоскостях, параллельных обоим цилиндрам). Так его ж ещё и проинтегрировать надобно...

да вот именно, нужно интеграл использовать, только я не знаю какое уравнение нужно к этому интегралу

[Батороев]

А что нынче в школьном учебнике нет формулы расчета отрезка цилиндра (выпиленной части)?

Если память не изменяет, то что-то типа $ V = \frac{4}{3}R^3 $.

[ewert]

ckunep писал(а):

да вот именно, нужно интеграл использовать, только я не знаю какое уравнение нужно к этому интегралу

Ну у Вас та подушка перпендикулярна оси $Y$, да? -- так полуширина $x$ квадрата и определяется уравнением окружности: $x=\sqrt{R^2-y^2}$.

[Батороев]

Размеры квадрата подушки $3\times 3$.
А еще можно добавить, что в сечениях "подушки" по диагоналям - эллипсы с осями $3$ и $3\sqrt 2$.