функция распределения суммы случайных величин и её предел

[Aiyyaa]

Помогите пожалуйста разобраться с задачей.
Есть $n \geq 1$ независимых одинаково распределенных случайных величин $\xi_1, \xi_2, ...,\xi_n$, где каждая случайная величина $\xi_k, (1 \leq k \leq n)$ имеют равномерное на $[0,1]$ распределение. Нужно найти функции распределения случайных величин $\eta_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\xi_k, \varsigma_n=\frac{\eta_n}{n}, \chi_n=\frac{\eta_n}{\sqrt{n}}$ и $\theta_n=\frac{\eta_n-M \eta_n}{\sqrt{n}}$ и пределы функций распределения этих случайных величин $\lim\limits_{n \to \infty }F_{\eta_n}(x), \lim\limits_{n \to \infty }F_{\varsigma_n}(x), \lim\limits_{n \to \infty }F_{\chi_n}(x)$ и $\lim\limits_{n \to \infty }F_{\theta_n}(x)$.
Равномерная на $[0,1]$ случайная величина $\xi$ имеет плотность распределения:
$p_\xi=\left\{\begin{matrix} 0, & x \notin [0,1]\\ \frac{1}{1-0}=1, & x \in [0,1] \end{matrix}\right. $
Я не знаю как найти функции распределения и пределы этих случайных величин. Подскажите пожалуйста, как найти функцию распределения $\eta_n$?

[alisa-lebovski]

Это тот случай, когда проще найти пределы, чем сами функции. Во 2-ом случае из закона больших чисел, в 4-ом из центральной предельной теоремы, в 1-ом и 3-ем стремится к бесконечности. А сами функции есть в Феллере, том 2.

[Markiyan Hirnyk]

alisa-lebovskiПожалуйста, дайте точную ссылку, как принято среди цивилизованных людей.

[upgrade]

не оно?(композиция с.в.)

[Lia]

Markiyan Hirnyk
Среди цивилизованных людей этого указания обычно достаточно.
upgrade
В данной ситуации это малополезно.

[Markiyan Hirnyk]

Lia
Приношу извинения, но мне не удалось найти формулу для этой функции распределения в указанной книге В. Феллера.

[alisa-lebovski]

Том 2, глава 1, параграф 9, страницы 41-42.

[Markiyan Hirnyk]

Спасибо.

[Евгений Машеров]

Предел во всех случаях будет нормальным распределением, различаясь матожиданием и дисперсией. И то, и то легко найти, пользуясь тем, что матожидание суммы равно сумме матожиданий, и дисперсия суммы независимых величин (для приведенного свойства матожиданий независимость не требуется, для дисперсии существенна) равна сумме дисперсий, а также зная, как меняются матожидания и дисперсии при умножении на константу.
По мере приближения к пределу распределение будет всё более походить на нормальное.
Распределение суммы конечного числа равномерных слагаемых может быть получено посредством формулы для свёртки распределений
$p(y)=\int f(x)g(y-x) dx$
и будет представлять собой сплайн из n кусочков. Например, для n=2 получим треугольное распределение, а по мере роста n будет выглядеть всё более похожим на гауссов колокольчик.
Такие распределения известны, как (для суммы) распределения Ирвина-Холла https://en.wikipedia.org/wiki/Irwin%E2%80%93Hall_distribution

или (для среднего) распределения Бэйтса (на графике приведены к нулевому матожиданию) https://en.wikipedia.org/wiki/Bates_distribution

[Otta]

Евгений Машеров в сообщении #1266002 писал(а):

Предел во всех случаях будет нормальным распределением, различаясь матожиданием и дисперсией. И то, и то легко найти, пользуясь тем, что матожидание суммы равно сумме матожиданий, и дисперсия суммы независимых величин

Ну как же они могут быть во всех случаях нормальными (пределы), если уже исходя даже из этого прикидочного соображения о матожидании и дисперсии, дисперсия предела в первом случае стремится к бесконечности, во втором - к нулю, в третьем матожидание - к бесконечности, и только в четвертом оба предела конечны? (чего вообще-то недостаточно, но есть ЦПТ).

[Евгений Машеров]

К нормальному с разными для разного числа слагаемых матожиданием и дисперсией. Не к одному и тому же, а к одному и тому же с точностью до параметров.

[Otta]

Эм. Вы не асимптотическую ли нормальность имеете в виду?

[Евгений Машеров]

Ну, если спрашивается про предел при n, стремящемся к бесконечности...

[Otta]

:) Не, это логично )) но спрашивается-то именно про предел. А из асимптотической нормальности существование предела не следует, следует только то, что распределение при больших $n$ будет "похоже на нормальное", - о чем Вы и говорите.

Но существование предела и тем более его нормальность отсюда не вытекает, вот я и удивилась.

Upd. На самом деле, безотносительно к пределу, мне как человеку далекому от прикладной статистики интересно - что с ее стороны считается более информативным: что сумма квадратов $n$ нез. стандартных нормальных с.в. распределена асимптотически нормально (параметры считаются) либо же что та же сумма - в точности хи-квадрат с $n$ степенями свободы?
В принципе, то же, что и раньше, только там распределения менее избитые.